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Autor Tema: Hiperespacio  (Leído 87 veces)
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Julio_fmat
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« : 25/09/2017, 04:47:21 am »

Sea [texx]X[/texx] un espacio vectorial sobre [texx]\mathbb{C}[/texx]. Si [texx]Z[/texx] es un hiperespacio complejo en [texx]X[/texx] y [texx]a\in X[/texx], pero [texx]a\notin Z[/texx], entonces [texx]Z+\{ita: t\in \mathbb{R}\}[/texx] es un hiperespacio real en [texx]X[/texx].

Hola, creo que dibujando podemos entender que ese conjunto DEBE ser un hiperespacio.., ahora mi pregunta es sobre la formalidad para hacerlo. Gracias.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 25/09/2017, 06:25:22 am »

Hola

Sea [texx]X[/texx] un espacio vectorial sobre [texx]\mathbb{C}[/texx]. Si [texx]Z[/texx] es un hiperespacio complejo en [texx]X[/texx] y [texx]a\in X[/texx], pero [texx]a\notin Z[/texx], entonces [texx]Z+\{ita: t\in \mathbb{R}\}[/texx] es un hiperespacio real en [texx]X[/texx].

Hola, creo que dibujando podemos entender que ese conjunto DEBE ser un hiperespacio.., ahora mi pregunta es sobre la formalidad para hacerlo. Gracias.

Pues no estoy seguro de  como quieres hacer un dibujo tan sutil que distinga hiperespacios complejos de hiperespacios reales.

Fíjate que tienes que comprobar dos cosas:

- Que [texx]U=Z+\{ita:t\in \mathbb{R}\}[/texx] es un subespacio vectorial real de [texx]X[/texx]. Es inmediato porque es suma de dos subespacios vectoriales reales: [texx]Z[/texx] porque es un subespacio vectorial complejo y entonces también real y [texx]\{ita:t\in \mathbb{R}\}[/texx] porque es por definición el subespacio vectorial real generado por [texx]ia[/texx].

- Que [texx]U=Z+\{ita:t\in \mathbb{R}\}[/texx] es hiperplano real de [texx]X[/texx], es decir, que su codimensión como subespacio vectorial real de [texx]X[/texx] es [texx]1[/texx]

 Eso es equivalente a comprobar que el cociente [texx]X/U[/texx] tiene dimensión 1 como espacio vectorial real.

 Para ello considera la apliación [texx]\mathbb{R}[/texx]-lineal:

[texx]f: X/Z\longrightarrow{}X/U[/texx]

 Comprueba que:

 i) [texx]f[/texx] es sobreyectiva.
ii) [texx]ker f=\{[ita];t\in \mathbb{R}\}[/texx] y su dimensión como subespacio real es [texx]1[/texx].
iii) [texx]dim_{\mathbb{C}}(X/Z)=1[/texx] por ser [texx]Z[/texx] hiperplano complejo. Entonces [texx]dim_{\mathbb{R}}(X/Z)=2[/texx]
iv) Por la fórmula de las dimensiones:

[texx] dim_{\mathbb{R}}(Im(f))=dim_{\mathbb{R}}(X/Z)-dim_{\mathbb{R}}(ker(f))[/texx]

Saludos.
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Julio_fmat
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« Respuesta #2 : 15/11/2017, 01:44:46 am »

Hola

Sea [texx]X[/texx] un espacio vectorial sobre [texx]\mathbb{C}[/texx]. Si [texx]Z[/texx] es un hiperespacio complejo en [texx]X[/texx] y [texx]a\in X[/texx], pero [texx]a\notin Z[/texx], entonces [texx]Z+\{ita: t\in \mathbb{R}\}[/texx] es un hiperespacio real en [texx]X[/texx].

Hola, creo que dibujando podemos entender que ese conjunto DEBE ser un hiperespacio.., ahora mi pregunta es sobre la formalidad para hacerlo. Gracias.

Pues no estoy seguro de  como quieres hacer un dibujo tan sutil que distinga hiperespacios complejos de hiperespacios reales.

Fíjate que tienes que comprobar dos cosas:

- Que [texx]U=Z+\{ita:t\in \mathbb{R}\}[/texx] es un subespacio vectorial real de [texx]X[/texx]. Es inmediato porque es suma de dos subespacios vectoriales reales: [texx]Z[/texx] porque es un subespacio vectorial complejo y entonces también real y [texx]\{ita:t\in \mathbb{R}\}[/texx] porque es por definición el subespacio vectorial real generado por [texx]ia[/texx].

- Que [texx]U=Z+\{ita:t\in \mathbb{R}\}[/texx] es hiperplano real de [texx]X[/texx], es decir, que su codimensión como subespacio vectorial real de [texx]X[/texx] es [texx]1[/texx]

 Eso es equivalente a comprobar que el cociente [texx]X/U[/texx] tiene dimensión 1 como espacio vectorial real.

 Para ello considera la apliación [texx]\mathbb{R}[/texx]-lineal:

[texx]f: X/Z\longrightarrow{}X/U[/texx]

 Comprueba que:

 i) [texx]f[/texx] es sobreyectiva.
ii) [texx]ker f=\{[ita];t\in \mathbb{R}\}[/texx] y su dimensión como subespacio real es [texx]1[/texx].
iii) [texx]dim_{\mathbb{C}}(X/Z)=1[/texx] por ser [texx]Z[/texx] hiperplano complejo. Entonces [texx]dim_{\mathbb{R}}(X/Z)=2[/texx]
iv) Por la fórmula de las dimensiones:

[texx] dim_{\mathbb{R}}(Im(f))=dim_{\mathbb{R}}(X/Z)-dim_{\mathbb{R}}(ker(f))[/texx]

Saludos.

Muchas Gracias el_manco, no me había dado cuenta que ya lo había preguntado.
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