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Autor Tema: Unicidad de los multiplicadores de Lagrange  (Leído 1173 veces)
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GMat
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« : 17 Septiembre, 2017, 17:02 »

Buenas a todos, les pido su ayuda con el siguiente problema

sean f, h y g de clase [texx]C^1[/texx]. Demuestre que si [texx]x^*[/texx] es un mínimo local del problema de optimización con restricciones
Minimizar [texx]f(x)[/texx]
Sujeto a [texx]h(x) = 0[/texx]
[texx]g(x)\leq{0}[/texx]
(POR)
y [texx]x^*[/texx] es regular para las restricciones activas de (POR), entonces los multiplicadores de Lagrange [texx]\lambda[/texx] y [texx]\mu[/texx] provistos por las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker son únicos.

La lógica me dice que hay que suponer (como es de costumbre) que no son únicos, supongamos que existen otro [texx]\lambda_0[/texx] y [texx]\mu_0[/texx], las condiciones de KKT nos dicen que si [texx]x^*[/texx] es un mínimo relativo y un punto regular entonces existen [texx]\lambda[/texx] y [texx]\mu[/texx] tales que

[texx]\nabla f(x*)+{\lambda}^T\nabla h(x^*)+{\mu}^T\nabla g(x^*)=0[/texx]
[texx]{\mu}^T g(x^*)=0[/texx]

Lo que se me ocurrió fue suponer la existencia del [texx]\lambda_0[/texx] y [texx]\mu_0[/texx] y igualar ambas ecuaciones, de allí llegue a que [texx]{(\lambda - \lambda_0)}^T\nabla h(x^*)+{(\mu - \mu_0)}^T\nabla g(x^*)=0[/texx] pero de allí no se me ocurrió mas nada, se me ocurrió ver que [texx]\nabla h(x^*)[/texx] y [texx]\nabla g(x^*)[/texx] eran linealmente dependientes para contradecir que [texx]x^*[/texx] es un punto regular pero de esa ecuación a la que llegue no se como proseguir para demostrarlo

Agradezco su ayuda de antemano
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 18 Septiembre, 2017, 07:26 »

Hola

Lo que se me ocurrió fue suponer la existencia del [texx]\lambda_0[/texx] y [texx]\mu_0[/texx] y igualar ambas ecuaciones, de allí llegue a que [texx]{(\lambda - \lambda_0)}^T\nabla h(x^*)+{(\mu - \mu_0)}^T\nabla g(x^*)=0[/texx] pero de allí no se me ocurrió mas nada, se me ocurrió ver que [texx]\nabla h(x^*)[/texx] y [texx]\nabla g(x^*)[/texx] eran linealmente dependientes para contradecir que [texx]x^*[/texx] es un punto regular pero de esa ecuación a la que llegue no se como proseguir para demostrarlo

Agradezco su ayuda de antemano

Lo que tienes es un sistema homogéneo:

[texx]{(\lambda - \lambda_0)}^T\nabla h(x^*)+{(\mu - \mu_0)}^T\nabla g(x^*)=0[/texx]

con solución distinta de la trivial. Eso supone que las columnas de la matriz asociada son dependientes.

Saludos.
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