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Autor Tema: Demuestre el Teorema de Bolzano.  (Leído 324 veces)
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« : 14/09/2017, 06:44:53 am »



Teorema. (Teorema de los ceros de Bolzano).


"Toda función continua en un intervalo que toma valores positivos y negativos se anula en algún punto de

dicho intervalo.
"


Demuéstrese.


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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 14/09/2017, 06:56:26 am »

Hola

 Idea. A partir del intervalo inicial  [texx][a_1,b_1][/texx] tomando [texx]m_1=\dfrac{a_1+b_1}{2}[/texx] tendrás que o bien [texx]f(m_1)=0[/texx] con lo cual has concluido o bien [texx]f(m_1)[/texx] tiene distinto signo que [texx]f(a_1)[/texx] ó [texx]f(b_1)[/texx].

 Así tienes un nuevo intervalo [texx][a_2,b_2][/texx] de longitud la mitad y de nuevo con la función tomando distinto signo en los extremos.

 Reiterando el argumento construyes una sucesión de intervalos encajados [texx][a_n,b_n][/texx] con esa propiedad de forma que [texx]\{a_n\}[/texx] es creciente, [texx]\{b_n\}[/texx] es decreciente, [texx]b_n-a_n\to 0[/texx] y [texx]f(a_n)f(b_n)<0[/texx].

 De ahí se concluye que [texx]a_n[/texx] y [texx]b_n[/texx] convergen al mismo límite [texx]x[/texx]. Por continuidad [texx]f(x)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty} f(a_n)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty} f(b_n) [/texx] y por el hecho de que las sucesiones [texx] f(a_n)[/texx] y [texx]f(b_n)[/texx] tienen distinto signo el límite sólo puede ser cero.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 14/09/2017, 08:26:13 am »

Podría valer?

Consideramos que    [texx]f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    es continua en    [texx][a,b][/texx]    y toma valores positivos y negativos en    [texx][a,b][/texx].

Consideramos los conjuntos


[texx]E=\{x\in{[a,b]}:t\in{[a,x]}\Rightarrow{f(t)<0}\}[/texx]    y    [texx]E'=\{x\in{[a,b]}:t\in{[x,b]}\Rightarrow{f(t)>0}\}[/texx]


Tenemos que    [texx]E,E'\subset{[a,b]}[/texx]    están acotados, así que tienen supremo e ínfimo.

Sean    [texx]\alpha=\sup(E)[/texx]    y    [texx]\beta=\inf(E')[/texx] .    Debe ser    [texx]\alpha\neq{b}[/texx]    puesto que si    [texx]\alpha=b[/texx],    entonces    [texx]f[/texx]    no podría tomar valores positivos y esto contradice su definición. Igualmente por la misma razón debe ser   [texx]\beta\neq{a}[/texx].    Además por definición de    [texx]E[/texx]    y    [texx]E'[/texx]   tenemos que    [texx]\alpha,\beta\in{[a,b]}[/texx].



De todo ello podemos considerar tres supuestos:

1.- [texx]a<\alpha<\beta<b[/texx]         2.- [texx]a<\alpha=\beta<b[/texx]         3.- [texx]a<\beta<\alpha<b[/texx]

El supuesto tres es claro que no es posible puesto que para    [texx]t\in{(\beta,\alpha)}[/texx]    es    [texx]f(t)>0[/texx]    por ser    [texx]t>\beta[/texx]    y    [texx]f(t)<0[/texx]    por ser     [texx]t<\alpha[/texx]    lo cual es absurdo.

Para el supuesto uno, si    [texx]t\in{(\alpha,\beta)}[/texx]    entonces    [texx]\lnot f(t)<0[/texx]    por ser     [texx]t>\alpha[/texx]    y    [texx]\lnot f(t)>0[/texx]    por ser    [texx]t<\beta[/texx].


Podemos deducir entonces que sólo puede ser    [texx]f(t)=0[/texx].    c.q.d. 


Saludos y gracias.

EDITO

Lástima que se me olvidó que podría haber más de un punto en el que la función se anule.
Me temo que hace aguas la demostración.
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #3 : 14/09/2017, 10:04:43 am »

Quedate sólo con un conjunto el [texx]E[/texx] por ejemplo y luego intenta ver que pasa con [texx]\alpha[/texx]


Si [texx]f(\alpha) < 0 [/texx] exite un entorno  de [texx]\alpha[/texx] tal que si [texx]x \in ]\alpha-\delta,\alpha  +\delta[[/texx] entonces [texx]f(x) < 0[/texx] esto nos indica que [texx] \alpha+\dfrac{\delta}{2} [/texx] está en [texx]E[/texx] luego [texx]\alpha [/texx] no es el supremo en contra de la hipótesis.

Mira ahora que pasa si [texx]f(\alpha) > 0[/texx]
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« Respuesta #4 : 14/09/2017, 12:03:52 pm »

Quedate sólo con un conjunto el [texx]E[/texx] por ejemplo y luego intenta ver que pasa con [texx]\alpha[/texx]


Si [texx]f(\alpha) < 0 [/texx] exite un entorno  de [texx]\alpha[/texx] tal que si [texx]x \in ]\alpha-\delta,\alpha  +\delta[[/texx] entonces [texx]f(x) < 0[/texx] esto nos indica que [texx] \alpha+\dfrac{\delta}{2} [/texx] está en [texx]E[/texx] luego [texx]\alpha [/texx] no es el supremo en contra de la hipótesis.

Mira ahora que pasa si [texx]f(\alpha) > 0[/texx]

Si claro, hay que reconsiderarlo. He supuesto que la función es monótona creciente, y esta no es una hipótesis del teorema.

Una función continua en    [texx][a,b][/texx]    que toma valores positivos y negativos en    [texx][a,b][/texx]    puede ser monótona creciente, monótona decreciente u oscilante (no inyectiva), y es obvio además, por hipótesis, que no puede ser constante.

Creo, tal y como apuntas, que no queda más remedio que usar el teorema de conservación local del signo.

Saludos y gracias.
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« Respuesta #5 : 14/09/2017, 04:30:47 pm »

Hola

 Idea. A partir del intervalo inicial  [texx][a_1,b_1][/texx] tomando [texx]m_1=\dfrac{a_1+b_1}{2}[/texx] tendrás que o bien [texx]f(m_1)=0[/texx] con lo cual has concluido o bien [texx]f(m_1)[/texx] tiene distinto signo que [texx]f(a_1)[/texx] ó [texx]f(b_1)[/texx].

¿Y que impide que    [texx]f(a_1)[/texx],    [texx](b_1)[/texx]    y    [texx]m_1[/texx]    tengan el mismo signo?



Saludos y gracias.

* bolzano.ggb (7.54 KB - descargado 25 veces.)
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« Respuesta #6 : 14/09/2017, 04:39:54 pm »

Hola

 Idea. A partir del intervalo inicial  [texx][a_1,b_1][/texx] tomando [texx]m_1=\dfrac{a_1+b_1}{2}[/texx] tendrás que o bien [texx]f(m_1)=0[/texx] con lo cual has concluido o bien [texx]f(m_1)[/texx] tiene distinto signo que [texx]f(a_1)[/texx] ó [texx]f(b_1)[/texx].

¿Y que impide que    [texx]f(a_1)[/texx],    [texx](b_1)[/texx]    y    [texx]m_1[/texx]    tengan el mismo signo?


Pero siempre puedes elegir [texx][a_1, b_1]\subset{} [a, b][/texx] tal que [texx]f(a_1)\cdot{}f(b_1) < 0[/texx].

Saludos,
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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #7 : 14/09/2017, 05:01:19 pm »



Teorema. (Teorema de los ceros de Bolzano).


"Toda función continua en un intervalo que toma valores positivos y negativos en la forntera se anula en algún punto de

dicho intervalo.
"



¿Y que impide que    [texx]f(a_1)[/texx],    [texx]f(b_1)[/texx]    y    [texx]m_1[/texx]    tengan el mismo signo?


Se exige que [texx]f(a_n)\cdot f(b_n) < 0 [/texx] entonces:

([texx]f(a_n) > 0[/texx] y [texx]f(b_n) < 0 [/texx]) o ([texx]f(a_n) < 0[/texx] y [texx]f(b_n) > 0 [/texx])
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« Respuesta #8 : 14/09/2017, 06:15:20 pm »



Teorema. (Teorema de los ceros de Bolzano).


"Toda función continua en un intervalo que toma valores positivos y negativos en la forntera se anula en algún punto de

dicho intervalo.
"



¿Y que impide que    [texx]f(a_1)[/texx],    [texx]f(b_1)[/texx]    y    [texx]m_1[/texx]    tengan el mismo signo?


Se exige que [texx]f(a_n)\cdot f(b_n) < 0 [/texx] entonces:

([texx]f(a_n) > 0[/texx] y [texx]f(b_n) < 0 [/texx]) o ([texx]f(a_n) < 0[/texx] y [texx]f(b_n) > 0 [/texx])

¿No se debería exigir también    [texx]f(a)\neq{0}[/texx]    y    [texx]f(b)\neq{0}[/texx]?


Así se podrían estudiar cuatro supuestos:

   
[texx]f(a)>0\wedge f(b)>0[/texx],   [texx]f(a)>0\wedge f(b)<0[/texx],    [texx]f(a)<0\wedge f(b)>0[/texx]    y    [texx]f(a)<0\wedge f(b)<0[/texx]
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« Respuesta #9 : 14/09/2017, 07:08:33 pm »

Creo que te estas  yendo por la tangente.

Tenemos que la función debe cumplir [texx]f(a) \cdot f(b)  < 0 [/texx] para cumplir la hipótesis del teorema de Bolzano.

Vuelvo a exigir que [texx] f(a) \cdot f(b) < 0 [/texx] según las hipótesis  de tú enunciado.


Si [texx]f(a) = 0 [/texx] o [texx]f(b) = 0 [/texx] entonces [texx] f(a) \cdot f(b) = 0 [/texx] y simplemente no se cumplen las hipótesis.

Editado

Aunque viendo el enunciado dice que existe [texx] x_1,x_2 \in [a,b] [/texx] con [texx] f(x_1) \cdot f(x_2) < 0 [/texx]

pero es una versión del enunciado [texx]f(a) \cdot f(b)  < 0 [/texx]
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« Respuesta #10 : 15/09/2017, 02:54:20 am »



Teorema. (Teorema de los ceros de Bolzano).


"Toda función continua en un intervalo que toma valores positivos y negativos en la forntera se anula en algún punto de

dicho intervalo.
"



¿Y que impide que    [texx]f(a_1)[/texx],    [texx]f(b_1)[/texx]    y    [texx]m_1[/texx]    tengan el mismo signo?


Se exige que [texx]f(a_n)\cdot f(b_n) < 0 [/texx] entonces:

([texx]f(a_n) > 0[/texx] y [texx]f(b_n) < 0 [/texx]) o ([texx]f(a_n) < 0[/texx] y [texx]f(b_n) > 0 [/texx])

¿No se debería exigir también    [texx]f(a)\neq{0}[/texx]    y    [texx]f(b)\neq{0}[/texx]?


Así se podrían estudiar cuatro supuestos:

   
[texx]f(a)>0\wedge f(b)>0[/texx],   [texx]f(a)>0\wedge f(b)<0[/texx],    [texx]f(a)<0\wedge f(b)>0[/texx]    y    [texx]f(a)<0\wedge f(b)<0[/texx]

Con tu enunciado original siempre se puede elegir [texx][a_1, b_1]\subset{} [a, b][/texx] tal que [texx]f(a_1)\cdot{}f(b_1) < 0[/texx], y a partir de él construir la sucesión de intervalos encajados que te decía Luis Fuentes (es el_manco). Con independencia de que en nese intervalo la función sea creciente, decreciente o se anule varias veces.

Saludos,
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« Respuesta #11 : 15/09/2017, 07:52:20 am »

Otra manera.

Podemos tomar por ejemplo     [texx]x_0\in{(a,b)}[/texx]    tal que    [texx]f(x_0)<0[/texx].    (Para    [texx]f(x_0)>0[/texx]    el razonamiento es

análogo).


Por el teorema de conservación local del signo, existen entornos    [texx](x_0-\delta,x_0+\delta)[/texx]    tal que si    [texx]|x-x_0|<\delta[/texx]

entonces    [texx]f(x)\cdot{f(x_0)>0}[/texx],    esto es,    [texx]f(x)<0[/texx]    para    [texx]x\in{(x_0-\delta,x_0+\delta)}[/texx],    [texx]\delta>0[/texx].


Por hipótesis, o bien existen    [texx]x\in{[a,x_0-\delta]}[/texx],    o bien existen    [texx]x\in{[x_0+\delta,b]}[/texx]    que hacen que   [texx]f(x)>0[/texx],    o

ambas.


Consideramos los conjuntos

[texx]E=\{x\in{[x_0,b]}:t\in{[x_0,x]}\Rightarrow{f(t)<0}\}[/texx],

[texx]E'=\{x\in{[a,x_0]}:t\in{[x,x_0]}\Rightarrow{f(t)<0}\}[/texx],


estos tienen ínfimo y supremo respectivamente ya que    [texx]a\leq{x}\leq{b}[/texx]    y por lo tanto están acotados.


Es claro que no puede ser    [texx]\big(\inf(E')=a\big)\wedge\big(\sup(E)=b\big)[/texx],    ya que en ese caso la función no podría tomar

valores positivos en contra de la hipótesis.


Suponemos    [texx]\alpha=\sup(E)<b[/texx],    el razonamiento es análogo si suponemos    [texx]\beta=\inf(E')>a[/texx].


Vemos que no puede ser    [texx]f(\alpha)<0[/texx]    ya que por el teorema anterior existiría un entorno de    [texx]\alpha[/texx]    para el cual la

función tomaría valores negativos, esto es, existiría   [texx]x>\alpha[/texx],    [texx]x\in{[x_0,b]}[/texx]    para el cual    [texx]f(t)<0[/texx]    con

[texx]t\in{[x_0,x]}[/texx]    que contradice la hipótesis    [texx]\alpha=\sup(E)[/texx].


Por el mismo motivo tampoco puede ser    [texx]f(\alpha)>0[/texx]    ya que en ese caso existiría un entorno de     [texx]\alpha[/texx]    para el cual

la función toma valores positivos, esto es,    [texx]f(t)>0[/texx]    para    [texx]t<x[/texx],    [texx]x\in{E}[/texx]    en contra de la definición del

conjunto    [texx]E[/texx].


Luego, en virtud de la continuidad de     [texx]f[/texx],    tiene que ser     [texx]f(\alpha)=0[/texx]        c.q.d.


Espero les parezca correcto. Saludos y gracias.
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