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Autor Tema: Line integral  (Leído 130 veces)
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« : 14/09/2017, 02:37:02 am »

Compute the line integral [texx]\displaystyle \int_{C}(x^2-2xy)dx+(y^2-2xy)dy[/texx] along the curve [texx]C=\left\{{(x,y)\in \mathbb{R^2}: x\in[-1,1], y=x^2}\right\}[/texx].

Hi, I need help. Please.
How do I do this using differential forms?

Regards. :risa:
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« Respuesta #1 : 14/09/2017, 04:29:37 am »

Hi

Compute the line integral [texx]\displaystyle \int_{C}(x^2-2xy)dx+(y^2-2xy)dy[/texx] along the curve [texx]C=\left\{{(x,y)\in \mathbb{R^2}: x\in[-1,1], y=x^2}\right\}[/texx].

Hi, I need help. Please.
How do I do this using differential forms?

Regards. :risa:

Parameterize the curve [texx]C[/texx]:

[texx](x(t),y(t))=(t,t^2)[/texx] with [texx]t\in [-1,1][/texx]

then [texx]dx=dt,\quad dy=2tdt.[/texx]

The integral becomes:

[texx]\displaystyle\int_{-1}^1((t^2-2t^3)+(t^4-2t^3)(2t))dt[/texx]

Best regards.
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« Respuesta #2 : 30/09/2017, 07:12:12 pm »

Thanks.
I think this result is similar:
Let [texx]\omega=(x^2-2xy)dx+(y^2-2xy)dy \Rightarrow C^*(\omega)=C^*((x^2-2xy)dx)+C^*((y^2-2xy)dy)=((x^2-2xy)\circ C)d(x\circ C)+((y^2-2xy)\circ C)d(y\circ C)[/texx]
                                                                             [texx]=(x^2-2x^3)d(x)+(x^4-2x^3)d(x^2)=(x^2-2x^3)dx+(x^4-2x^3)(2xdx)[/texx]
                                                                             [texx]=(2x^5-4x^4-2x^3+x^2)dx[/texx]
[texx]\Rightarrow \displaystyle\int_{C}\omega=\displaystyle\int_{-1}^{1}(2x^5-4x^4-2x^3+x^2)dx=\dfrac{x^6}{3}-\dfrac{4x^5}{5}-\dfrac{x^4}{2}+\dfrac{x^3}{3} |_{x=-1}^{x=1}=\dfrac{-14}{15}[/texx]
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« Respuesta #3 : 02/10/2017, 06:55:39 am »

Hola

Thanks.
I think this result is similar:
Let [texx]\omega=(x^2-2xy)dx+(y^2-2xy)dy \Rightarrow C^*(\omega)=C^*((x^2-2xy)dx)+C^*((y^2-2xy)dy)=((x^2-2xy)\circ C)d(x\circ C)+((y^2-2xy)\circ C)d(y\circ C)[/texx]
                                                                             [texx]=(x^2-2x^3)d(x)+(x^4-2x^3)d(x^2)=(x^2-2x^3)dx+(x^4-2x^3)(2xdx)[/texx]
                                                                             [texx]=(2x^5-4x^4-2x^3+x^2)dx[/texx]
[texx]\Rightarrow \displaystyle\int_{C}\omega=\displaystyle\int_{-1}^{1}(2x^5-4x^4-2x^3+x^2)dx=\dfrac{x^6}{3}-\dfrac{4x^5}{5}-\dfrac{x^4}{2}+\dfrac{x^3}{3} |_{x=-1}^{x=1}=\dfrac{-14}{15}[/texx]

Ok. It is the same solution replacing [texx]t[/texx] by [texx]x[/texx].

Best regards.
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