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Autor Tema: Frontera de un conjunto  (Leído 67 veces)
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Julio_fmat
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« : 14/09/2017, 12:53:13 am »

Demuestre que [texx]\partial A=\partial A^{c}[/texx].

Bueno, por doble inclusión de conjuntos... Me enredo mucho, no se que cosas podemos usar.
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« Respuesta #1 : 14/09/2017, 01:20:55 am »

Debes comprobar que un punto es de frontera cuando para cualquier entorno del mismo existen puntos que pertenecen al conjunto y puntos del conjunto complementario... por tanto los puntos de frontera son los mismos para un conjunto y su complementario.
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Julio_fmat
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« Respuesta #2 : 14/09/2017, 04:49:45 am »

Debes comprobar que un punto es de frontera cuando para cualquier entorno del mismo existen puntos que pertenecen al conjunto y puntos del conjunto complementario... por tanto los puntos de frontera son los mismos para un conjunto y su complementario.

Muchas Gracias  Aplauso

Pero por eso mismo, se debe demostrar.

Caso 1: [texx]\partial A\subseteq \partial A^{c}[/texx].

Sea [texx]x\in \partial A.[/texx] Se tiene que [texx]x\in \overline{A}\cap \overline{A^{c}}[/texx], es decir, [texx]x\in \overline{A}[/texx] y [texx]x\in \overline{A^{c}}[/texx]. Luego, podemos usar el hecho que [texx]\overline{A}=A\cup A'[/texx] SI?

Igual lo analizo así y no me da la frontera del complemento...  :BangHead:
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 14/09/2017, 04:57:33 am »

Hola

 Por definición de frontera tienes que:

 [texx]x\in \partial A[/texx] si y sólo si para cualquier abierto [texx]U[/texx] con [texx]x\in U[/texx] se tiene que [texx]U\cap A\neq \emptyset[/texx] y [texx]U\cap A^c\neq \emptyset[/texx]

y

 [texx]x\in \partial A^c[/texx] si y sólo si para cualquier abierto [texx]U[/texx] con [texx]x\in U[/texx] se tiene que [texx]U\cap A^c\neq \emptyset[/texx] y [texx]U\cap (A^c)^c\neq \emptyset[/texx]

 Pero [texx](A^c)^c=A[/texx] ...

Saludos.
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