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Autor Tema: Cálculo variacional: sobre una deducción de las ecuaciones Euler-Lagrange  (Leído 83 veces)
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alexpglez
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« : 13/09/2017, 01:05:36 pm »

El problema es encontrar la función f que hace extremo el valor:
[texx] S[f]=\displaystyle\int_a^b L(f(x),f'(x),x) dx [/texx]
Para las f que tienen fijos [texx] f(a) [/texx] y [texx] f(b) [/texx]

Había leído previamente una deducción que consiste en considerar que [texx] f(x)=h(x)+\epsilon \delta(x) [/texx] donde h es una función que hace extremo el valor de S, [texx] \epsilon [/texx] es un parámetro, y [texx] \delta(x) [/texx] es una función que se anula en a y b. Sustituyendo esta f en S, se obtiene una función:
[texx] S(\epsilon)=S[h(x)+\epsilon \delta(x)] [/texx]
Que además alcanza su valor extremo (junto al funcional) en [texx] \epsilon=0 [/texx]. Por lo que el problema es equivalente a resolver:
[texx] \frac{dS}{d\epsilon}\vert_{\epsilon=0}=0 [/texx]
Y de aquí, junto con ciertas hipótesis sobre h y L de continuidad y derivabilidad (que no las detallo porque ahora mismo no recuerdo). Se obtiene:
[texx] \frac{d}{dx}(\frac{\partial L}{\partial f'})-\frac{\partial L}{\partial f}=0 [/texx]

Esta demostración es más estándar, en lo que se refiere a libros de física.

Más recientemente he visto otra que utiliza los conceptos de norma en espacio de funciones, límite y derivada funcional. Creo que es mucho más formal y general.

Mi duda es si, la demostración que menciono al principio, es correcta desde un punto de vista formal.

Gracias, saludos.
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Samir M.
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« Respuesta #1 : 14/09/2017, 10:18:39 am »

Hola.

Para saber si es correcta, debes aportar todos los detalles, por superfluos que parezcan. En su momento yo vi una partiendo de una idea similar y era rigurosa.

Saludos.
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[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
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