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Autor Tema: Aclaraciones sobre ejercicio de grupos  (Leído 70 veces)
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manooooh
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« : 13/09/2017, 02:03:21 am »

¡Aloha! Tengo un par de dudas sobre un ejercicio que ayer la ayudante resolvió. Empecemos:

Para el grupo no abeliano de las funciones: [texx]f: \mathbb{R} - \{0, 1\}\longrightarrow{} \mathbb{R} - \{0, 1\}[/texx] dado por [texx](G=\{f_1 = x; \; f_2 = \displaystyle\frac{1}{x}; \; f_3 = \displaystyle\frac{1}{1 - x}; \; f_4 = 1 - x; \; f_5 = 1 - \displaystyle\frac{1}{x}; \; f_6 = \displaystyle\frac{x}{x - 1}\}; \circ{})[/texx] se pide:

- Los subgrupos e indicar cuáles son normales
- Dar, para todos los casos, el índice que cada uno determina
- La partición en cada caso



Hizo la tabla de [texx]G[/texx] con la composición de funciones:
[texx]\begin{vmatrix} \circ{} & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 & f_5 & f_6 \\ f_1 & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 & f_5 & f_6 \\ f_2 & f_2 & f_1 & f_4 & f_3 & f_6 & f_5 \\ f_3 & f_3 & f_6 & f_5 & f_2 & f_1 & f_4 \\ f_4 & f_4 & f_5 & f_6 & f_1 & f_2 & f_3 \\ f_5 & f_5 & f_4 & f_1 & f_6 & f_3 & f_2 \\ f_6 & f_6 & f_3 & f_2 & f_5 & f_4 & f_1\end{vmatrix}[/texx]

Hallamos los subgrupos normales (sabemos que el TRIVIAL y el IMPROPIO ya son normales porque el grupo NO es abeliano -por enunciado) (¿ustedes conocen a esos subgrupos con esos nombres?)

Neutro: [texx]f_1[/texx]
Simétricos: [texx](f_1)' = f_1, \; (f_2)' = f_2, \; (f_3)' = f_5, \; (f_4)' = f_4, \; (f_5)' = f_3, \; (f_6)' = f_6[/texx]

Ahora buscamos a los [texx](Gen(G); \; \circ{})[/texx] y los nombramos para trabajar más fácil:
[texx]H_1 = <f_1> = \{f_1\}[/texx]
[texx]H_2 = <f_2> = \{f_1, \; f_2\}[/texx]
[texx]H_3 = <f_3> = <f_5> = \{f_1, \; f_3, \; f_5\}[/texx]
[texx]H_4 = <f_4> = \{f_1, \; f_4\}[/texx]
[texx]H_5 = <f_6> = \{f_1, \; f_6\}[/texx]

[texx]|G| = 6[/texx] (orden de [texx]G[/texx]) [texx]\Longrightarrow{} G[/texx] no es abeliano y no es cíclico (¿por qué no es cíclico? La definición que tengo es que un GRUPO es cíclico si [texx]\exists{}a \in{} G: G=<a>[/texx]. Acá me perdí)

[texx]|H_1| = 1\textrm{, }I = \displaystyle\frac{6}{1} = 6 \Longrightarrow{} H_1 \textrm{ es normal}[/texx]
([texx]I[/texx] de índice)
[texx]|H_2| = 2\textrm{, }I = \displaystyle\frac{6}{2} = 3[/texx]
[texx]|H_3| = 3\textrm{, }I = \displaystyle\frac{6}{3} = 2\Longrightarrow{} H_3 \textrm{ es normal}[/texx]
[texx]|H_4| = 2\textrm{, }I = \displaystyle\frac{6}{2} = 3[/texx]
[texx]|H_5| = 2\textrm{, }I = \displaystyle\frac{6}{2} = 3[/texx]
(¿Por qué solamente [texx]H_1[/texx] y [texx]H_3[/texx]? ¿[texx]H_3[/texx] es el subgrupo impropio? Sé que el primero es subgrupo normal porque es el trivial, o sea en nuestro caso es la función identidad, ¿verdad? El otro ya no sé por qué lo es :triste:)

Hallamos las particiones (para ésto, creo que hay que ver que coincidan las clases laterales izquierda y derecha):
[texx]H_1\textrm{ , directamente  } P_d = P_i = \{\{f_1\}, \{f_2\}, \{f_3\}, \{f_4\}, \{f_5\}, \{f_6\}\} \Longrightarrow{} H_1[/texx] es subgrupo normal.
([texx]P_d \textrm{ y } P_i[/texx] significan particiones a derecha y a izquierda, respectivamente)

[texx]H_3[/texx]: (aclaración: como el índice de [texx]H_3[/texx] es [texx]2[/texx], sólo basta hallar 2 clases, para no hacer cuentas de más):
   A derecha:
[texx]\overline{f_{1_d}} = \{f_1,\;f_3,\;f_5\} \circ{} f_1 = \{f_1 \circ{} f_1, \; f_3 \circ{} f_1, \; f_5 \circ{} f_1\} = \{f_1, \; f_3, \; f_5\} = \overline{f_{3_d}} = \overline{f_{5_d}}[/texx] (¿por qué son iguales a las clases laterales a derecha del [texx]f_3[/texx] y [texx]f_5[/texx]?)
[texx]\overline{f_{2_d}} = \{f_1,\;f_3,\;f_5\} \circ{} f_2 = \{f_2, \; f_6, \; f_1\} = \overline{f_{5_d}} = \overline{f_{4_d}}[/texx]
   A izquierda:
[texx]\overline{f_{1_i}} = f_1 \circ{} \{f_1,\;f_3,\;f_5\} = \{f_1, \; f_3, \; f_5\} = \overline{f_{3_i}} = \overline{f_{5_i}}[/texx]
[texx]\overline{f_{2_i}} = f_2 \circ{} \{f_1,\;f_3,\;f_5\} = \{f_2, \; f_4, \; f_6\} = \overline{f_{4_i}} = \overline{f_{6_i}}[/texx]

Luego
[texx]P_d = P_i \Longrightarrow{} H_3[/texx] es subgrupo normal.
[texx]P = \{\{f_1, \; f_3, \; f_5\}, \; \{f_2, \; f_3, \; f_6\}\}[/texx].



Necesito que me aclaren esas pequeñas cosas. Gracias!!
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 13/09/2017, 04:47:46 am »

Hola

Hallamos los subgrupos normales (sabemos que el TRIVIAL y el IMPROPIO ya son normales porque el grupo NO es abeliano -por enunciado) (¿ustedes conocen a esos subgrupos con esos nombres?)

Suelen llamarse subgrupos impropios al formado sólo por el neutro (que tu llamas trivial) y al total. Es decir si [texx]G[/texx] es el grupo de neutro [texx]e[/texx], los subgrupos impropios son [texx]\{e\}[/texx] y [texx]G[/texx].

Cita
Neutro: [texx]f_1[/texx]
Simétricos: [texx](f_1)' = f_1, \; (f_2)' = f_2, \; (f_3)' = f_5, \; (f_4)' = f_4, \; (f_5)' = f_3, \; (f_6)' = f_6[/texx]

Ahora buscamos a los [texx](Gen(G); \; \circ{})[/texx] y los nombramos para trabajar más fácil:
[texx]H_1 = <f_1> = \{f_1\}[/texx]
[texx]H_2 = <f_2> = \{f_1, \; f_2\}[/texx]
[texx]H_3 = <f_3> = <f_5> = \{f_1, \; f_3, \; f_5\}[/texx]
[texx]H_4 = <f_4> = \{f_1, \; f_4\}[/texx]
[texx]H_5 = <f_6> = \{f_1, \; f_6\}[/texx]

[texx]|G| = 6[/texx] (orden de [texx]G[/texx]) [texx]\Longrightarrow{} G[/texx] no es abeliano y no es cíclico (¿por qué no es cíclico? La definición que tengo es que un GRUPO es cíclico si [texx]\exists{}a \in{} G: G=<a>[/texx]. Acá me perdí)

Un grupo es cíclico si está generado por un sólo elemento. Es decir si [texx]G[/texx] es cíclico existe un elemento [texx]a\in G[/texx] de manera que cualquier otro elemento de [texx]G[/texx] es de la forma [texx]a^n[/texx] para algún [texx]n[/texx] entero positivo. Es claro que en tu caso no esto no se cumple. Es más en general si [texx]G[/texx] es finito de orden [texx]n[/texx] para que sea cílcico tiene que existir un elemento de orden [texx]n[/texx]. Es decir, en tu caso debería de existir un [texx]f_i[/texx] de orden [texx]6[/texx], esto es, cumpliendo [texx]f_i^k\neq neutro[/texx] si [texx]k=1,2,3,4,5[/texx] y [texx]f_i^6=neutro[/texx]. Pero no existe.

Cita
[texx]|H_1| = 1\textrm{, }I = \displaystyle\frac{6}{1} = 6 \Longrightarrow{} H_1 \textrm{ es normal}[/texx]
([texx]I[/texx] de índice)
[texx]|H_2| = 2\textrm{, }I = \displaystyle\frac{6}{2} = 3[/texx]
[texx]|H_3| = 3\textrm{, }I = \displaystyle\frac{6}{3} = 2\Longrightarrow{} H_3 \textrm{ es normal}[/texx]
[texx]|H_4| = 2\textrm{, }I = \displaystyle\frac{6}{2} = 3[/texx]
[texx]|H_5| = 2\textrm{, }I = \displaystyle\frac{6}{2} = 3[/texx]
(¿Por qué solamente [texx]H_1[/texx] y [texx]H_3[/texx]? ¿[texx]H_3[/texx] es el subgrupo impropio? Sé que el primero es subgrupo normal porque es el trivial, o sea en nuestro caso es la función identidad, ¿verdad? El otro ya no sé por qué lo es :triste:)

Como dices [texx]H_1[/texx] es normal porque es el subgrupo trivial.

[texx]H_3[/texx] NO es un subgrupo impropio; pero vemos que tiene índice dos: todo subgrupo de índice dos es normal. Es un resultado que suele explicarse en teoría. El motivo es sencillo: si el índice es dos sólo hay dos clases laterales (tanto a izquierda como a derecha); en ambos casos una es la clase del neutro que coincide a derecha y a izquierda por tanto la otra formada por los elementos restantes también coincide a derecha e izquierda y así el subgrupo es normal.

Respecto a [texx]H_2,H_3,H_5[/texx] tienen índice tres y por tanto a prioiri sin usar algún resultado más o analizar directamente las clases laterales a derecha y a izquierda no sabemos si son o no normales.

Cita
Hallamos las particiones (para ésto, creo que hay que ver que coincidan las clases laterales izquierda y derecha):

O si no coinciden (eso ocurrirá en los grupos NO normales) hallar por un lado las clases laterales a izquierda y por otro lado las clases laterales a derecha.

Cita
[texx]H_1\textrm{ , directamente  } P_d = P_i = \{\{f_1\}, \{f_2\}, \{f_3\}, \{f_4\}, \{f_5\}, \{f_6\}\} \Longrightarrow{} H_1[/texx] es subgrupo normal.
([texx]P_d \textrm{ y } P_i[/texx] significan particiones a derecha y a izquierda, respectivamente)

[texx]H_3[/texx]: (aclaración: como el índice de [texx]H_3[/texx] es [texx]2[/texx], sólo basta hallar 2 clases, para no hacer cuentas de más):
   A derecha:
[texx]\overline{f_{1_d}} = \{f_1,\;f_3,\;f_5\} \circ{} f_1 = \{f_1 \circ{} f_1, \; f_3 \circ{} f_1, \; f_5 \circ{} f_1\} = \{f_1, \; f_3, \; f_5\} = \overline{f_{3_d}} = \overline{f_{5_d}}[/texx] (¿por qué son iguales a las clases laterales a derecha del [texx]f_3[/texx] y [texx]f_5[/texx]?)

En general si tienes [texx]H[/texx] subgrupo de [texx]G[/texx] y [texx]aH[/texx] la clase lateral de un elemento [texx]a[/texx] entonces si [texx]b\in aH[/texx] las clases laterales [texx]aH[/texx] y [texx]bH[/texx] coinciden.

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Saludos.
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manooooh
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« Respuesta #2 : 13/09/2017, 09:45:56 pm »

Ok, entendido!
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