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Autor Tema: Derivadas direccionales?  (Leído 99 veces)
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Jambo
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« : 13/09/2017, 01:15:19 am »

Hola!
Estoy teniendo problemas para entender bien las derivadas direccionales, a lo mejor es algo tonto pero no lo logro entender...tengo el siguiente ejercicio:

Estudiar la continuidad de la función y la existencia de las derivadas direccionales respectivas:

[texx]f(x,y) = \left \{ \begin{matrix} x^3/y & \mbox{si }y\neq{0}\mbox{}
\\ 0 & \mbox{si }y=0\mbox{ }\end{matrix}\right. [/texx]

Estudié la continuidad y me dio que el límite no existía ([texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{}(0,0)}{\displaystyle\frac{x^3}{y}}=\displaystyle\lim_{x \to{}0}{x^3}\cdot{\displaystyle\lim_{y \to{}0}{\displaystyle\frac{1}{y}}}[/texx] no existe!)

Cuando quiero estudiar las derivadas direccionales, intento aplicar la definición: [texx] \displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{f(p+hv)-f(p)}{h}}[/texx] donde [texx]v=(v_1,v_2)[/texx] es un vector distinto del nulo y [texx]p[/texx] es un punto perteneciente al domino (al interior del dominio?).

Mi duda es, ¿Quién es el punto [texx]p[/texx]? ¿Cómo me doy cuenta quien es [texx]p[/texx]? 

Agradezco su ayuda de antemano!
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 13/09/2017, 05:09:08 am »

Hola

Hola!
Estoy teniendo problemas para entender bien las derivadas direccionales, a lo mejor es algo tonto pero no lo logro entender...tengo el siguiente ejercicio:

Estudiar la continuidad de la función y la existencia de las derivadas direccionales respectivas:

[texx]f(x,y) = \left \{ \begin{matrix} x^3/y & \mbox{si }y\neq{0}\mbox{}
\\ 0 & \mbox{si }y=0\mbox{ }\end{matrix}\right. [/texx]

Estudié la continuidad y me dio que el límite no existía ([texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{}(0,0)}{\displaystyle\frac{x^3}{y}}=\displaystyle\lim_{x \to{}0}{x^3}\cdot{\displaystyle\lim_{y \to{}0}{\displaystyle\frac{1}{y}}}[/texx] no existe!)

En principio ese producto de límites corresponde a un [texx]0\cdot \infty[/texx]; es una indeterminación y no se puede afirmar sólo con eso que el límite no exista.

Además, ¿por qué analizas sólo el límite en el punto [texx](0,0)[/texx]?.

Cuando tienes una función definida a trozos y te piden analizar la continuidad el procedimiento standard es:

1) Ver lo que ocurre en el interior de cada trozo. Normalmente en cada uno de ellos suele venir definida por una función continua; la continuidad suele razonarse usando que el producto, suma, potencia, composición de funciones continuas es continua (en tu caso por la función [texx]x^3/y[/texx] continua si [texx]y\neq 0[/texx] por ser cociente de continuas).

2) Después ver lo que ocurre en la frontera de los trozos y es ahí donde interviene la definición de continuidad a través de los límites.

En tu caso la frontera corresponde a los puntos [texx](x,y)[/texx] con [texx]y=0[/texx], es decir, puntos de la forma [texx](x_0,0)[/texx]. En todos esos puntos [texx]f(x_0,0)=0[/texx].

Si [texx]x_0\neq 0[/texx] y tomas el límite sobre la trayectoria [texx]x=x_0[/texx] tienes que:

[texx]\displaystyle\lim_{y\to 0}{}f(x_0,y)=\displaystyle\lim_{y\to 0}{}\dfrac{x_0^3}{y}[/texx] ¡no existe!

Por tanto no hay continuidad.

Si [texx]x_0=0[/texx] y tomas el límite sobre la trayectoria [texx]y=x^3[/texx]:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to 0}{}f(x,x^3)=\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{x^3}{x^3}=1\neq 0[/texx]

Por tanto tampoco hay continuidad.

Cita
Cuando quiero estudiar las derivadas direccionales, intento aplicar la definición: [texx] \displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{f(p+hv)-f(p)}{h}}[/texx] donde [texx]v=(v_1,v_2)[/texx] es un vector distinto del nulo y [texx]p[/texx] es un punto perteneciente al domino (al interior del dominio?).

Mi duda es, ¿Quién es el punto [texx]p[/texx]? ¿Cómo me doy cuenta quien es [texx]p[/texx]? 

Si no te dicen nada el punto [texx]p[/texx] es cualquier punto, es decir, tienes que hallar las derivadas direccionales en cualquier punto de [texx]\mathbb{R}^2[/texx]. Lo lógico es hacer una subdivisión en casos análoga a la que hicimos para la continuidad: puntos interiores a cada trozo por una parte y luego puntos frontera.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 13/09/2017, 07:28:07 am »

Con cualquier punto te referis a cualquiera que yo elija o cualquiera "genérico"?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 13/09/2017, 09:50:56 am »

Hola

Con cualquier punto te referis a cualquiera que yo elija o cualquiera "genérico"?

Un punto [texx]p[/texx] de la forma [texx]p=(x_0,y_0)[/texx] de manera que el resultado a priori quedará en función de [texx]x_0,y_0[/texx].

Por la definición particular de la función a trozos dada deberás distinguir los casos:

i) [texx]y_0\neq 0[/texx]
ii) [texx]y_0=0,\quad x_0\neq 0[/texx]
iii) [texx]x_0=y_0=0[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #4 : 13/09/2017, 01:40:45 pm »

Bien, gracias!  :sonrisa_amplia:
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