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Autor Tema: Isomorfismo de anillos  (Leído 179 veces)
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Naoj
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« : 13/09/2017, 12:32:38 am »

Buen día,

Quiero demostrar que [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-5}][/texx] es isomorfo como anillo a [texx]\mathbb{Z}(x)/\langle x^{2} + 5\rangle[/texx], usando el primer teorema de isomorfismo de anillos. Mi problema está, en que no he logrado dar con una definición correcta del homomorfismo de anillos [texx]\varphi : \mathbb{Z}(x) \rightarrow \mathbb{Z}[\sqrt{-5}][/texx]. ¿Cómo puedo definir este homomorfismo?

Gracias!
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 13/09/2017, 04:32:28 am »

Hola

Buen día,

Quiero demostrar que [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-5}][/texx] es isomorfo como anillo a [texx]\mathbb{Z}(x)/\langle x^{2} + 5\rangle[/texx], usando el primer teorema de isomorfismo de anillos. Mi problema está, en que no he logrado dar con una definición correcta del homomorfismo de anillos [texx]\varphi : \mathbb{Z}(x) \rightarrow \mathbb{Z}[\sqrt{-5}][/texx]. ¿Cómo puedo definir este homomorfismo?

Gracias!

Define el morfismo evaluación en [texx]\sqrt{-5}[/texx], es decir:

[texx]\varphi(p(x))=p(\sqrt{-5})[/texx]

Saludos.
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Naoj
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« Respuesta #2 : 14/09/2017, 10:21:24 am »

Muchas gracias!
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Naoj
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« Respuesta #3 : 24/09/2017, 01:55:42 pm »

He logrado ver que [texx]\mathbb{Z}(x)/\ker{\varphi} \cong \mathbb{Z}[\sqrt{-5}][/texx], donde [texx]\varphi(p(x)) = p(\sqrt{-5})[/texx], pero se me dificulta ver que [texx]\ker{\varphi} = (x^{2} + 5)[/texx]. Podrías darme la idea de como verlo fácilmente por favor.

Gracias!
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Luis Fuentes
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« Respuesta #4 : 25/09/2017, 04:36:28 am »

Hola

He logrado ver que [texx]\mathbb{Z}(x)/\ker{\varphi} \cong \mathbb{Z}[\sqrt{-5}][/texx], donde [texx]\varphi(p(x)) = p(\sqrt{-5})[/texx], pero se me dificulta ver que [texx]\ker{\varphi} = (x^{2} + 5)[/texx]. Podrías darme la idea de como verlo fácilmente por favor.

Basta ver que si [texx]p(x)\in \mathbb{Z}(x)[/texx] cumple [texx]p(\sqrt{-5})=0[/texx] entonces [texx]x^2+5[/texx] divide a [texx]p(x)[/texx].

Para ello ten en cuenta:

1) El Teorema del resto y su consecuencia: si [texx]\sqrt{-5}[/texx] es raíz de [texx]p(x)[/texx] entonces [texx](x-\sqrt{-5})[/texx] divide a [texx]p(x)[/texx] (como polinomio en [texx]\mathbb{C}(x)[/texx])

2) Si un complejo [texx]z[/texx] es raíz de un polinomio [texx]p(x)[/texx] con coeficientes reales entonces su conjugado [texx]\bar z[/texx] también es raíz del polinomio. En nuestro caso como \sqrt{-5} es raíz de p(x) también -\sqrt{-5} es raíz de p(x).

3) De nuevo por el Teorema del resto, [texx](x+\sqrt{-5})[/texx] divide a [texx]p(x)[/texx], luego combinado con (1):

[texx](x-\sqrt{-5})(x+\sqrt{-5})=x^2+5 [/texx]

divide a [texx]p(x)[/texx].

Saludos.
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