Foros de matemática
24/11/2017, 01:23:38 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Renovado el procedimiento de inserción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Demostración polinomios ciclotomicos  (Leído 245 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
cristianoceli
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 543


Ver Perfil
« : 12/09/2017, 11:55:52 pm »

Hola tengo dificultades con esta demostración

Sea [texx]\zeta=e^{2\pi i/n}[/texx] una raíz primitiva de la unidad

Pruebe que para todo [texx]n\geq{1}[/texx], que
[texx]x^n-1= (x-1) (x-\zeta)(x- {\zeta}^2) \cdot{} \cdot{} \cdot{} (x-\zeta^{n-1})[/texx]

y si n es impar

[texx]x^n+1= (x+1) (x+\zeta)(x+{\zeta}^2) \cdot{} \cdot{} \cdot{} (x+\zeta^{n+1})[/texx]


Para la primera he intentado dividir por [texx](x-1)[/texx] para mostrar que es raiz pero de ahi no se que mas hacer

De antemano gracias
En línea
ingmarov
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Honduras Honduras

Mensajes: 3.666



Ver Perfil
« Respuesta #1 : 13/09/2017, 12:13:39 am »

Hola

¿No basta con encontrar las soluciones de [texx]x^n_1-1=0\quad\Rightarrow\quad x^n=1[/texx]?

Y      [texx]x^n_1+1=0\quad\Rightarrow\quad x^n=-1[/texx]

Quiero decir usando variable compleja

Saludos
En línea

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
cristianoceli
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 543


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 13/09/2017, 12:18:25 am »

Hola

¿No basta con encontrar las soluciones de [texx]x^n_1-1=0\quad\Rightarrow\quad x^n=1[/texx]?

Y      [texx]x^n_1+1=0\quad\Rightarrow\quad x^n=-1[/texx]

Saludos

Creo que tendria que probar que todas son diferentes.


Saludos
En línea
ingmarov
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Honduras Honduras

Mensajes: 3.666



Ver Perfil
« Respuesta #3 : 13/09/2017, 12:25:59 am »

Pero las n raíces complejas de la unidad, aunque tengan igual módulo, sus argumentos son distintos, y son distintos números.

No me hagas tanto caso.
En línea

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 40.353


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 13/09/2017, 04:49:12 am »

Hola

Pero las n raíces complejas de la unidad, aunque tengan igual módulo, sus argumentos son distintos, y son distintos números.

No me hagas tanto caso.

Hazle caso: ingmarov está en lo cierto.

Saludos.
En línea
robinlambada
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.498


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 13/09/2017, 08:06:22 am »

Hola:
Hola tengo dificultades con esta demostración

Sea [texx]\zeta=e^{2\pi i/n}[/texx] una raíz primitiva de la unidad

Pruebe que para todo [texx]n\geq{1}[/texx], que
[texx]x^n-1= (x-1) (x-\zeta)(x- {\zeta}^2) \cdot{} \cdot{} \cdot{} (x-\zeta^{n-1})[/texx]

y si n es impar

[texx]x^n+1= (x+1) (x+\zeta)(x+{\zeta}^2) \cdot{} \cdot{} \cdot{} (x+\zeta^{n+1})[/texx]


Para la primera he intentado dividir por [texx](x-1)[/texx] para mostrar que es raiz pero de ahi no se que mas hacer

De antemano gracias

Observa que las raíces n-ésimas de la unidad son: [texx]\sqrt[ n]{1}=\zeta_k=e^{2\pi ki /n}[/texx] con [texx]k=\{0,1,2...n-1\}[/texx]

Siendo [texx]\zeta=\zeta_1=e^{2\pi i /n}[/texx] y además [texx]\zeta_k=e^{2\pi ki /n}=\left({e^{2\pi i /n}}\right)^k=\zeta^k[/texx]

Ya concluir es fácil.

Para el caso [texx]x^n+1=0[/texx](con n impar) las raíces son  [texx]\sqrt[ n]{-1}=\zeta '_k=e^{\pi i +2\pi ki /n}=-e^{2\pi ki /n}=-\zeta_k[/texx] con [texx]k=\{0,1,2...n-1\}[/texx]

Saludos.

P.D.: Por cierto [texx]x^n+1= (x+1) (x+\zeta)(x+{\zeta}^2) \cdot{} \cdot{} \cdot{} (x+\zeta^{\color {red}n+1})[/texx], lo que marque en rojo está mal, una ecuación de grado n tiene n raíces en los complejos, nunca n+2 raíces.

Realmente es: [texx]x^n+1= (x+1) (x+\zeta)(x+{\zeta}^2) \cdot{} \cdot{} \cdot{} (x+\zeta^{n-1})[/texx], entiendo que es un error de tipeo.
En línea

Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.
cristianoceli
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 543


Ver Perfil
« Respuesta #6 : 13/09/2017, 08:09:51 am »

Hola:
Hola tengo dificultades con esta demostración

Sea [texx]\zeta=e^{2\pi i/n}[/texx] una raíz primitiva de la unidad

Pruebe que para todo [texx]n\geq{1}[/texx], que
[texx]x^n-1= (x-1) (x-\zeta)(x- {\zeta}^2) \cdot{} \cdot{} \cdot{} (x-\zeta^{n-1})[/texx]

y si n es impar

[texx]x^n+1= (x+1) (x+\zeta)(x+{\zeta}^2) \cdot{} \cdot{} \cdot{} (x+\zeta^{n+1})[/texx]


Para la primera he intentado dividir por [texx](x-1)[/texx] para mostrar que es raiz pero de ahi no se que mas hacer

De antemano gracias

Observa que las raíces n-ésimas de la unidad son: [texx]\sqrt[ n]{1}=\zeta_k=e^{2\pi ki /n}[/texx] con [texx]k=\{0,1,2...n-1\}[/texx]

Siendo [texx]\zeta=\zeta_1=e^{2\pi i /n}[/texx] y además [texx]\zeta_k=e^{2\pi ki /n}=\left({e^{2\pi i /n}}\right)^k=\zeta^k[/texx]

Ya concluir es fácil.

Para el caso [texx]x^n+1=0[/texx](con n impar) las raíces son  [texx]\sqrt[ n]{-1}=\zeta '_k=e^{\pi i +2\pi ki /n}=-e^{2\pi ki /n}=-\zeta_k[/texx] con [texx]k=\{0,1,2...n-1\}[/texx]

Saludos.

Muchas robinlambada, ya lo veo

Saludos
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!