Foros de matemática
20/09/2017, 04:55:18 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: ¡Atención! Hay que poner la matemática con LaTeX, y se hace así (clic aquí):
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Mostrar que el polinomio no es irreducible en R[x]  (Leído 55 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
cristianoceli
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 528


Ver Perfil
« : 12/09/2017, 09:25:45 pm »

Hola como puedo mostrar que este polinomio [texx]x^4+x+1[/texx] no es irreducible en [texx]\mathbb{R} [/texx] [[texx]x[/texx]] aunque no tiene raices en [texx]\mathbb{R}[/texx]

No he visto ningún teorema ni nada así que me imagino que habra que hacerlo a "fuerza bruta" pero no se me ocurre.

Saludos
En línea
Ignacio Larrosa
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.253


Ver Perfil WWW
« Respuesta #1 : 13/09/2017, 04:07:28 am »

Si no tiene raíces en [texx]\mathbb{R}[/texx], como supongo que has demostrado, sabemos que tiene que tener raíces complejas conjugadas a pares, sean [texx]\alpha, \overline{\alpha}, \beta\textrm{ y }\overline{\beta}[/texx]. Entonces,

[texx]x^4+x+1 = (x - \alpha)(x-\overline{\alpha})(x - \beta)(x-\overline{\beta})=(x^2 - (\alpha + \overline{\alpha})x + \alpha\overline{\alpha})(x^2 - (\beta + \overline{\beta})x + \beta\overline{\beta})=(x^2 - 2\Re(\alpha)x + \left |{\alpha}\right |^2)(x^2 - 2\Re(\beta)x + \left |{\beta}\right |^2)[/texx]

En esta descomposición, todos los coeficientes de ambos factores son reales, por lo que el polinomio es reducible en [texx]\mathbb{R}\left[x\right][/texx].

Saludos,
En línea

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
cristianoceli
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 528


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 13/09/2017, 08:07:46 am »

Si no tiene raíces en [texx]\mathbb{R}[/texx], como supongo que has demostrado, sabemos que tiene que tener raíces complejas conjugadas a pares, sean [texx]\alpha, \overline{\alpha}, \beta\textrm{ y }\overline{\beta}[/texx]. Entonces,

[texx]x^4+x+1 = (x - \alpha)(x-\overline{\alpha})(x - \beta)(x-\overline{\beta})=(x^2 - (\alpha + \overline{\alpha})x + \alpha\overline{\alpha})(x^2 - (\beta + \overline{\beta})x + \beta\overline{\beta})=(x^2 - 2\Re(\alpha)x + \left |{\alpha}\right |^2)(x^2 - 2\Re(\beta)x + \left |{\beta}\right |^2)[/texx]

En esta descomposición, todos los coeficientes de ambos factores son reales, por lo que el polinomio es reducible en [texx]\mathbb{R}\left[x\right][/texx].

Saludos,

Muchas gracias, muy claro


Saludos
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!