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Autor Tema: Suma de Oresme  (Leído 203 veces)
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nico
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« : 12/09/2017, 08:53:31 pm »

Hola a todos, necesito comprobar que la suma de la serie [texx]\displaystyle\sum_{}^{}\displaystyle\frac{3n}{4^n}[/texx] es [texx]\displaystyle\frac{4}{3}[/texx]

Necesito ayuda. Gracias
saludos
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delmar
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« Respuesta #1 : 12/09/2017, 10:49:27 pm »

Hola

Parte de esta identidad : [texx]\displaystyle\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\displaystyle\sum_{k=0}^n{x^k}
[/texx]

Deriva ambos lados respecto a x multiplica ambos lados de la ecuación por 3x y haz tender al límite cuando [texx]n\rightarrow{+\infty}[/texx] considerando [texx]x=\displaystyle\frac{1}{4}[/texx] la serie converge a [texx]\displaystyle\frac{4}{3}[/texx]

Saludos
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #2 : 13/09/2017, 04:44:55 am »

Alternativamente se puede sumar como una progresión aritmético geométrica de primer grado, que es una sucesión cuyos términos son el producto de un polinomio de primer grado por una progresión geométrica:

[texx]S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^n{(a+b\cdot{}k)r^k}[/texx]

En este caso, [texx]a = 0, b = 3\textrm{ y }r = \frac{1}{4}[/texx]. Para hallar la suma, le restamos la suma multiplicada por la razón:

[texx]S_n - r\cdot{}S_n =  \displaystyle\sum_{k=0}^n{(a+b\cdot{}k)r^k} -  \displaystyle\sum_{k=0}^{n}{(a+b\cdot{}k)r^{k+1}}=a + b\displaystyle\sum_{k=1}^n{r^{k+1}} - (a + n\cdot{}b)r^{n+1}[/texx]

[texx]S_n(1 - r)=a + b\cdot{}\displaystyle\frac{r - r^{n+2}}{1 - r} - (a + n\cdot{}b)r^{n+1} [/texx]

Si [texx]\left |{r}\right | < 1[/texx], nos queda

[texx]S = \displaystyle\lim{S_n} = \displaystyle\frac{a}{1-r} + \displaystyle\frac{b\cdot{}r}{(1-r)^2}[/texx]

En este caso,

[texx]S =  \displaystyle\frac{0}{1-\frac{1}{4}} + \displaystyle\frac{3\cdot{}\frac{1}{4}}{(1-\frac{1}{4})^2}=\displaystyle\frac{4}{3}[/texx]

Si el grado del polinomio fuese superior al primero, tendríamos una progresión aritmético-geométrica del grado correspondiente, habría que repetir el proceso de multiplicar por [texx]r[/texx] y restar hasta reducir el grado del polinomio a cero, que sería el equivalente discreto al proceso de derivar.

En este enlace: Suma de una progresión aritmético geométrica se dice esto mismo y puede verse un applet para sumar gráficamente [texx]\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{\displaystyle\frac{k}{2^{k+1}}}[/texx]

Saludos,

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« Respuesta #3 : 13/09/2017, 03:35:18 pm »

Hola.

Otra forma similar, sabiendo que converge:

Si [texx]\displaystyle S=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{3n}{4^n}[/texx] entonces [texx]\displaystyle 4S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n}{4^{n-1}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3(n+1)}{4^n}[/texx]

Entonces, [texx]\displaystyle 4S-S=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{3}{4^n}=3\cdot \dfrac{1}{1-\dfrac{{\color{red}{1}}}{4}}=\dfrac{12}{3}[/texx] luego [texx]S = \dfrac{4}{3}[/texx]
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[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
Ignacio Larrosa
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« Respuesta #4 : 13/09/2017, 03:47:29 pm »

Hola.

Otra forma similar, sabiendo que converge:

Si [texx]\displaystyle S=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{3n}{4^n}[/texx] entonces [texx]\displaystyle 4S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n}{4^{n-1}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3(n+1)}{4^n}[/texx]

Entonces, [texx]\displaystyle 4S-S=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{3}{4^n}=3\cdot \dfrac{1}{1-\dfrac{n}{4}}=\dfrac{12}{3}[/texx] luego [texx]S = \dfrac{4}{3}[/texx]

 Aplauso Aplauso Aplauso

Solo una pequeña errata:

[texx]\displaystyle 4S-S=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{3}{4^n}=3\cdot \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{12}{3}[/texx] luego [texx]S = \dfrac{4}{3}[/texx]

Saludos,


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« Respuesta #5 : 14/09/2017, 12:39:41 am »

Gracias, corregida.

Saludos.
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