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Autor Tema: Hallar el máximo y el mínimo absolutos en todo R2  (Leído 36 veces)
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Gastoncito
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« : 12/09/2017, 06:26:54 pm »

Hola, soy nuevo en el foro y me uní al mismo para poder preguntar sobre un ejercicio que me complico resolverlo en este momento.
Me dan la función f(x,y)=[texx]x^4[/texx]+[texx]y^4[/texx]-[texx]2x^2[/texx]+[texx]4xy[/texx]-[texx]2y^2[/texx]
La consigna es la del titulo. Mi problema es con el sistema que me queda para resolver con las derivadas parciales igualadas a cero.
Sinceramente no se como resolverlo. La ecuación de la derivada parcial con respecto a x me da [texx]4x^3[/texx]-[texx]4x[/texx]+[texx]4y[/texx]=[texx]0[/texx]
Y la de la derivada parcial con respecto a y me da [texx]4y^3[/texx]+[texx]4x[/texx]-[texx]4y[/texx].
Desde ya se los agradezco, que pasen bien.

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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #1 : 12/09/2017, 07:17:59 pm »

Hola, soy nuevo en el foro y me uní al mismo para poder preguntar sobre un ejercicio que me complico resolverlo en este momento.
Me dan la función f(x,y)=[texx]x^4[/texx]+[texx]y^4[/texx]-[texx]2x^2[/texx]+[texx]4xy[/texx]-[texx]2y^2[/texx]
La consigna es la del titulo. Mi problema es con el sistema que me queda para resolver con las derivadas parciales igualadas a cero.
Sinceramente no se como resolverlo. La ecuación de la derivada parcial con respecto a x me da [texx]4x^3[/texx]-[texx]4x[/texx]+[texx]4y[/texx]=[texx]0[/texx]
Y la de la derivada parcial con respecto a y me da [texx]4y^3[/texx]+[texx]4x[/texx]-[texx]4y[/texx].
Desde ya se los agradezco, que pasen bien.



Bienvenido al foro, Gastoncito.

Debemos buscar los puntos críticos para lo que debemos igualar las derivadas parciales a cero. Podemos simplificar por 4, y nos queda

[texx]x^3-x+y=0[/texx]
[texx]y^3-y+x=0[/texx]

A primera vista observamos que las curvas correspondientes a estas ecuaciones son simétricas una de otra respecto a la recta [texx]y = x[/texx], pues al intercambiar [texx]y\textrm{ con }x[/texx] en una de las ecuaciones obtenemos la otra. De esta manera, si [texx](x, y)[/texx] es una solución, también lo será [texx](y, x)[/texx]. También es evidente que [texx](0, 0)[/texx] es una solución del sistema.

Si sumas ambas ecuaciones, obtienes [texx]x^3 + y^3 = 0 \;\Longrightarrow{}\; y = - x[/texx], para [texx]x\textrm{ e }y[/texx] reales. Sustituyendo en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores, obtenemos

[texx]x^3 = 2x\;\Rightarrow{}\Rightarrow{} x = 0, x = \pm{}\sqrt[ ]{2}[/texx]

Por lo tanto, las tres soluciones son [texx](0, 0), \left(-\sqrt[ ]{2}, \sqrt[]{2}\right)\textrm{ y }\left(\sqrt[ ]{2}, -\sqrt[]{2}\right)[/texx].

Ahora ya solo hay que aplicar el criterio del hessiano ... Y tener en cuenta que [texx]\displaystyle\lim_{(x, y) \to{}\infty}{f(x, y)} = +\infty[/texx].

En [texx](0, 0)[/texx] el hessiano no decide, pero puede verse directamente estudiando el signo de la función en las rectas [texx]y = x \textrm{ e }y = -x[/texx] ,que se trata de un punto de silla. Ten en cuenta que los términos importantes cerca de [texx](0, 0)[/texx] son los de menor grado.

El applet del mensaje Extremos de funciones de dos variables te puede ser de utilidad, pero deberás hacer zoom para alejar para tener una visión correcta de la función.

Saludos,

En línea

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
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