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Autor Tema: Métrica acerca de la integral.  (Leído 164 veces)
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zimbawe
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« : 12/09/2017, 04:59:05 pm »

Me pueden ayudar con este ejercicio por fa.
Mil gracias de ante mano.
Sea
[texx]X=\left\{{f:[0,1]\longrightarrow{\mathbb{R}}}\right\}[/texx] con f continúa. Probar que las siguientes aplicaciones son distancias, en [texx]X[/texx]

[texx]d_1=\displaystyle\int_{0}^{1} \left |{f(x)-g(x)}\right |[/texx]

[texx]d_2=sup_{x \in [0,1]} \left |{f(x)-g(x)}\right |[/texx]

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« Respuesta #1 : 12/09/2017, 05:16:32 pm »

Si [texx]f[/texx] y [texx]g[/texx] son continuas entonces también lo es [texx]f-g[/texx] y [texx]|f(x)-g(x)|\ge 0[/texx] para todo [texx]x\in[0,1][/texx].

Por otro lado como [texx][0,1][/texx] es un intervalo cerrado entonces cualquier función continua en él alcanza un máximo y un mínimo.
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zimbawe
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« Respuesta #2 : 12/09/2017, 06:38:33 pm »

¿Y cómo demuestro la desigualdad triangular? Gracias.
¿Esto sucede?
Si [texx]f(x)\leq{g(x)}[/texx]
Entonces
[texx]\displaystyle\int_{a}^{b}f\leq{\displaystyle\int_{a}^{b} g}[/texx]
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« Respuesta #3 : 12/09/2017, 11:16:30 pm »

La desigualdad triangular de la métrica integral es una consecuencia inmediata de la desigualdad triangular del valor absoluto y la linealidad de la integral de Riemann.

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