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Julio_fmat
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« : 12/09/2017, 01:45:48 am »

Compare las topologías generadas por [texx]B_2=\{(a,b]: a,b\in \mathbb{R}\}[/texx] y [texx]B_3=\{[a,b): a,b\in \mathbb{R}\}[/texx]. ¿Es [texx]\tau(B_2)\subseteq \tau(B_3)[/texx] o [texx]\tau(B_3)\subseteq \tau(B_2)[/texx]?
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« Respuesta #1 : 12/09/2017, 06:11:10 am »

Hola

Compare las topologías generadas por [texx]B_2=\{(a,b]: a,b\in \mathbb{R}\}[/texx] y [texx]B_3=\{[a,b): a,b\in \mathbb{R}\}[/texx]. ¿Es [texx]\tau(B_2)\subseteq \tau(B_3)[/texx] o [texx]\tau(B_3)\subseteq \tau(B_2)[/texx]?

En primer lugar nota (comprueba) que ambas familias [texx]B_2[/texx] y[texx] B_3[/texx] son base de la topología que generan.

Eso quiere decir que para [texx]i=2,3[/texx]:

[texx]A\in \tau(B_i)[/texx] si y sólo si [texx]\forall x\in A[/texx] existe [texx]U\in B_i[/texx] tal que [texx]x\in U\subset A[/texx]

Entonces puedes ver que [texx](0,1]\in \tau(B_2)[/texx] pero [texx](0,1]\not\in \tau(B_3)[/texx] ya que [texx]1\in (0,1][/texx] pero no existe [texx][a,b)[/texx] tal que [texx]1\in [a,b)\subset (0,1][/texx] (completa en detalle la prueba de este hecho).

Por tanto [texx]\tau(B_2)\not\subset \tau(B_3)[/texx]. Análogamente comprueba que tampoco se da la otra inclusión.

Es decir las topologías son NO comparables.

Saludos.
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