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Autor Tema: Comparar topologías  (Leído 131 veces)
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Julio_fmat
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« : 12/09/2017, 12:02:15 am »

Compare las topologías generadas por las bases [texx]B_1=\{(a,b): a,b\in \mathbb{R}\}[/texx] y [texx]B_2=\{(a,b]: a,b\in \mathbb{R}\}[/texx].

Hola, debo exhibir una prueba formal para esto... Bueno, la topología generada por [texx]B_1[/texx] es la topologia usual en [texx]\mathbb{R}[/texx]. La topología generada por [texx]B_2[/texx] es la topologia de limite superior. Podemos probar que [texx]\tau_{\text{usual}}\le \tau_{s}[/texx].

En efecto, sea [texx](a,b)[/texx] un elemento básico de [texx]\tau_{\text{usual}}[/texx] y sea [texx]x\in (a,b).[/texx] Notemos que [texx](a,x][/texx] es un elemento básico de [texx]\tau_{s}[/texx] tal que [texx]x\in (a,x]\subset (a,b).[/texx] Podemos hacer esto, por el Teorema de caracterización de topologías... Aunque en verdad, mi profesor busca la otra solución... Decir que un abierto no puede estar contenido en la unión... :BangHead:
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Julio_fmat
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« Respuesta #1 : 12/09/2017, 01:35:01 am »

Olvidenlo, ya lo resolvi...

Notamos que [texx](a,b)[/texx] no puede ser escrito como la unión [texx]\displaystyle\bigcup_{\alpha \in \Lambda} (c_{\alpha},d_{\alpha})[/texx], ya que no existe ningún intervalo abierto [texx](c,d)[/texx] tal que [texx]b\in (c,d)\subseteq (a,b].[/texx] Así, [texx]\tau (B_1)<\tau(B_2).[/texx]
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Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 12/09/2017, 06:21:48 am »

Hola

Olvidenlo, ya lo resolvi...

Notamos que [texx]\color{red}(a,b)\color{black}[/texx] no puede ser escrito como la unión [texx]\displaystyle\bigcup_{\alpha \in \Lambda} (c_{\alpha},d_{\alpha})[/texx], ya que no existe ningún intervalo abierto [texx](c,d)[/texx] tal que [texx]b\in (c,d)\subseteq (a,b].[/texx] Así, [texx]\tau (B_1)<\tau(B_2).[/texx]


Querías poner:

"Notamos que [texx](a,b\color{red}]\color{black}[/texx] ..."

Saludos.
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