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Autor Tema: Condiciones para que sea métrica.  (Leído 89 veces)
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zimbawe
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« : 11/09/2017, 09:22:24 am »

Hola, será que me pueden ayudar con este ejercicio, muchas gracias.
Sea [texx](X,d)[/texx] y [texx](Y,d)[/texx]
Espacios metricos y
[texx]f:X\longrightarrow{Y}[/texx]
se pide:
i) sea [texx]D: X\times{X}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] definida por [texx]D(x,y)=p(f(x),f(y))[/texx]
¿Cuándo es D una métrica?

ii) Si [texx](X,d)=(Y,p)=(\mathbb{R},d_u)[/texx] y
[texx]f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]
creciente.
¿Es D métrica?

iii) sea [texx]f(x)=x^{3}[/texx] cómo en (ii) ¿Es [texx]D[/texx] equivalente a [texx]d_u[/texx]

Gracias. De ante mano.
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« Respuesta #1 : 11/09/2017, 11:13:42 am »

¿Qué función es [texx]p[/texx] en la primera parte del ejercicio? Añadido: Ok, asumo que es la métrica de [texx]Y[/texx]. Pues ve mirando, una por una, qué características debe tener [texx]f[/texx] para que [texx]D[/texx] sea una métrica. Por ejemplo, el kernel de [texx]f[/texx] tiene que ser cero, es decir [texx]f(x)=0\iff x=0[/texx], de otro modo no se cumpliría una de las propiedades de una métrica, etc... ¿Debería ser [texx]f[/texx] inyectiva, sobreyectiva, contínua...? Cosas así son las que tienes que mirar.

Corregido: he confundido métrica con norma producto interior... no es necesario que [texx]f(0)=0[/texx].
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zimbawe
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« Respuesta #2 : 11/09/2017, 11:39:41 am »

¿Qué función es [texx]p[/texx] en la primera parte del ejercicio? Añadido: Ok, asumo que es la métrica de [texx]Y[/texx]. Pues ve mirando, una por una, qué características debe tener [texx]f[/texx] para que [texx]D[/texx] sea una métrica. Por ejemplo, el kernel de [texx]f[/texx] tiene que ser cero, es decir [texx]f(x)=0\iff x=0[/texx], de otro modo no se cumpliría una de las propiedades de una métrica, etc... ¿Debería ser [texx]f[/texx] inyectiva, sobreyectiva, contínua...? Cosas así son las que tienes que mirar.

¿Porqué f(0)=0?
O sea por el momento he concluido que debe ser inyectiva y continua.

Inyectiva puesto que si
[texx]D(x,y)=p(f(x),f(y))=0[/texx]
Entonces, se deben cumplir estas condiciones simultáneamente.
[texx]f(x)=f(y)[/texx] entonces,
[texx]x=y[/texx] lo que la hace inyectiva.

Si no es continua, en un punto x, entonces
no existe [texx]f(x)[/texx] luego, no está definido para cualquier y.
[texx]p(f(x),f(y))[/texx]

Asume, que debe ser sobreyectiva para que siempre exista imagen en y.

Pero esto es de manera intuitiva, quiero demostrarlo de manera formal. Gracias de ante mano.
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« Respuesta #3 : 11/09/2017, 12:33:09 pm »

Tienes razón Zimbawae... se me ha ido la olla y he confundido métrica y norma producto interior, de ahí lo de [texx]f(0)=0[/texx], lo cual no es necesario en una métrica.

La sobreyectividad no hace falta, ya que por definición [texx]f(X)\subset Y[/texx], y además creo que la continuidad de [texx]f[/texx] ¡vendría determinada por la propia métrica que estás intentando definir! Es decir: al definir [texx]f[/texx] tal que [texx]D[/texx] sea una métrica entonces automáticamente tenemos que [texx]f[/texx] es continua bajo las métricas [texx]D[/texx] y [texx]p[/texx].

Para hacer una demostración formal de esto simplemente habría que comprobar que si [texx]f[/texx] es inyectiva entonces se cumple que [texx]D[/texx] es una métrica.
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zimbawe
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« Respuesta #4 : 11/09/2017, 12:37:02 pm »

¿Y la parte 2? ¿Toda función creciente es inyectiva?
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« Respuesta #5 : 11/09/2017, 12:43:41 pm »

¿Y la parte 2? ¿Toda función creciente es inyectiva?

No, no toda función creciente es inyectiva. La definición de función creciente es que si [texx]x<y[/texx] entonces [texx]f(x)\le f(y)[/texx], es decir, una función constante sería creciente (y también decreciente) pero claramente no es inyectiva. Por eso se habla de estrictamente creciente (o estrictamente decreciente) que cambian la desigualdad no-estricta de cada definición por una desigualdad estricta.

Para el último ejercicio debes partir de la definición de métricas equivalentes.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #6 : 11/09/2017, 12:48:23 pm »

Hola

¿Y la parte 2? ¿Toda función creciente es inyectiva?

Si es estrictamente creciente obviamente si.

Saludos.
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