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Autor Tema: Idea de demostración de la conjetura de Collatz  (Leído 316 veces)
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francoz
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« : 11/09/2017, 12:10:45 am »

Hola a todos.
He estado algún tiempo pensando sobre la conjetura de Collatz.
Para aquellos que no la conozcan la conjetura de Collatz enuncia:
Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Bien, mi idea inicial fue intentar hallar o demostrar que no existe otro bucle.
Siendo [texx]n[/texx] el número natural al cual se le aplica la conjetura de Collatz, tenemos que:


Primero tenemos que si demostramos la conjetura para un [texx]n[/texx] impar queda demostrado para todos los naturales.
Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Después tenemos también que luego de un [texx]n[/texx] impar, siempre seguirá un [texx]n[/texx] par.
Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Luego, a partir de esto, tenemos que todo bucle comenzará por un [texx]n[/texx] impar, luego seguirá un [texx]n[/texx] par y el último [texx]n[/texx], luego de todas las iteraciones, será par.
Spoiler (click para mostrar u ocultar)


Para esto planteé una sencilla ecuación.
Por ejemplo, si queremos encontrar un bucle donde hayan 3 iteraciones, la primera será impar, luego la segunda par y la tercera (la última) deberá ser par. Todo esto por lo demostrado anteriormente. Entonces podemos decir que buscaremos un bucle de la forma I->P->P.
Donde I representa que el numero será impar en esa iteración y P representa que el número será par en tal iteración.
Bien, podemos decir entonces que, partiendo de un [texx]x[/texx] impar, le aplicamos lo correspondiente y así repetimos el proceso hasta llegar a la ultima iteración, donde el valor obtenido debería ser igual al valor [texx]x[/texx] inicial del cual partimos.
Por todo esto, tenemos:

[texx]3x + 1[/texx] -> [texx]\displaystyle\frac{3x + 1}{2}[/texx] -> [texx]\displaystyle\frac{3x + 1}{4}[/texx]

Y éste último deberá ser:

[texx]\displaystyle\frac{3x + 1}{4} = x[/texx]

Por último nos quedará [texx]x = 1[/texx]. Lo cual corresponde al bucle 1 -> 4 -> 2.

Finalmente, no lo he demostrado, pero se puede observar que como fórmula general tenemos:

[texx]\displaystyle\frac{3^Ix + b}{2^P} = x[/texx]
(Error corregido, estaba escrito [texx]-b[/texx], siendo esto incorrecto)

Donde despejando [texx]x[/texx] tenemos que:

[texx]\displaystyle\frac{b}{2^P - 3^I} = x[/texx]

Teniendo a [texx]b[/texx] definido de la siguiente forma recursiva:

[texx]b:\begin{cases} a_0 & \text{=}& 1\\a_n & \text{=}& 3.a_{n-1} + 2^{j}\end{cases}[/texx]
Siendo [texx]j = p[/texx] en el momento de la iteración, se iterará cada vez que tengamos [texx]n[/texx] impar, por lo tanto, se iterará [texx]a_n[/texx] hasta que [texx]n = I - 1[/texx]

Se que todo esto suena muy raro y su definición no es buena, pero es lo que se me ocurrió.

Un ejemplo utilizando la "formula":
Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Finalmente, lo que queremos demostrar es que siendo [texx]2^P - 3^I > 0[/texx] con [texx]P, I \in{N}[/texx]
no es posible que [texx]\displaystyle\frac{b}{2^P - 3^I}[/texx] de como resultado un entero positivo, porque de ser posible, si el resultado final es distinto de 1, encontraríamos otro bucle.

Obviamente podemos observar que si [texx]2^P - 3^I = 1[/texx] siempre dividirá a b.
Para esto ya he abierto un post hace unos días, donde un usuario demostró que la única solución es para [texx]P=2[/texx] e [texx]I=1[/texx].
El único valor posible para b en este caso es [texx]b=1[/texx], por lo tanto tenemos que [texx] x = 1[/texx], por lo que llegamos al bucle conocido.

Bien, aquí ya me he quedado sin saber que hacer. Soy aficionado de la matemática y la verdad que mi conocimiento es bastante limitado.
Publico esto porque quizás alguien puede tomar esta base y se le ocurre algo mejor, aunque la idea central es una ecuación sencilla, lo que no me da muchas esperanzas de que se pueda continuar con esta forma, ya que creo que alguien ya lo hubiese hecho, ¿no?

Aquí he hecho otro hilo donde se plantea el mayor [texx]b[/texx] posible y se trata de demostrar que no existe solución o buscar alguna si existiese.

Debemos tener en cuenta también que si tomamos, por ejemplo, 32 iteraciones, existirán muchos valores posibles para b, ya que este cambia según el orden de las iteraciones impares y pares.
Para esto también tenemos una sencilla formula.
Cantidad de posibles valores para b:    [texx]\displaystyle\frac{(P-1)!}{(I-1)!(P-I)!}[/texx]

Bien, eso es todo. Gracias al usuario robinlambada que me ha respondido en los dos post, donde por cierto no he contado de donde surgía el problema.

Saludos y gracias por leer todo!


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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 12/09/2017, 07:43:24 am »

Hola

Hola a todos.
He estado algún tiempo pensando sobre la conjetura de Collatz.
Para aquellos que no la conozcan la conjetura de Collatz enuncia:
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Bien, mi idea inicial fue intentar hallar o demostrar que no existe otro bucle.
Siendo [texx]n[/texx] el número natural al cual se le aplica la conjetura de Collatz, tenemos que:


Primero tenemos que si demostramos la conjetura para un [texx]n[/texx] impar queda demostrado para todos los naturales.
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Después tenemos también que luego de un [texx]n[/texx] impar, siempre seguirá un [texx]n[/texx] par.
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Luego, a partir de esto, tenemos que todo bucle comenzará por un [texx]n[/texx] impar, luego seguirá un [texx]n[/texx] par y el último [texx]n[/texx], luego de todas las iteraciones, será par.
Spoiler (click para mostrar u ocultar)


Para esto planteé una sencilla ecuación.
Por ejemplo, si queremos encontrar un bucle donde hayan 3 iteraciones, la primera será impar, luego la segunda par y la tercera (la última) deberá ser par. Todo esto por lo demostrado anteriormente. Entonces podemos decir que buscaremos un bucle de la forma I->P->P.
Donde I representa que el numero será impar en esa iteración y P representa que el número será par en tal iteración.
Bien, podemos decir entonces que, partiendo de un [texx]x[/texx] impar, le aplicamos lo correspondiente y así repetimos el proceso hasta llegar a la ultima iteración, donde el valor obtenido debería ser igual al valor [texx]x[/texx] inicial del cual partimos.
Por todo esto, tenemos:

[texx]3x + 1[/texx] -> [texx]\displaystyle\frac{3x + 1}{2}[/texx] -> [texx]\displaystyle\frac{3x + 1}{4}[/texx]

Y éste último deberá ser:

[texx]\displaystyle\frac{3x + 1}{4} = x[/texx]

Por último nos quedará [texx]x = 1[/texx]. Lo cual corresponde al bucle 1 -> 4 -> 2.

De acuerdo.

Cita
Finalmente, no lo he demostrado, pero se puede observar que como fórmula general tenemos:

[texx]\displaystyle\frac{3^Ix - b}{2^P} = x[/texx]

De acuerdo, aunque no sé porque pones el [texx]b[/texx] con el menos delante (no tienen mucha importancia si simplemente consideramos [texx]b[/texx] un entero).

Por ejempo en el caso más sencillo tienes:

[texx]\dfrac{3x+1}{4}=\dfrac{3^1x+1}{2^2}[/texx]

donde aparece un [texx]+1[/texx].

Por lo demás es fácil ver que esa fórmula es correcta por inducción ya que si le aplicamos cualquiera de las dos posibilidades queda:

[texx]\dfrac{3^Ix+b}{2^P}\longrightarrow{}\dfrac{\dfrac{3^Ix+b}{2^P}}{2}=\dfrac{3^Ix+b}{2^{P+1}}[/texx]

ó

[texx]\dfrac{3^Ix+b}{2^P}\longrightarrow{}3\cdot \dfrac{3^Ix+b}{2^P}+1=\dfrac{3^{I+1}x+(3b+2^P)}{2^{P}}[/texx]

Con lo demás también estoy grosso-modo de acuerdo (no he comprobado los detalles), pero no sé si sirve para llegar a buen puerto.

Saludos.
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francoz
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« Respuesta #2 : 12/09/2017, 01:58:56 pm »

Muchas gracias por tu respuesta, me alegra que te hayas tomado el tiempo de leer mi "idea"  :sonrisa:

Con respecto a lo de [texx]b[/texx], me he confundido totalmente. Como bien dices es [texx]+ b[/texx], inclusive [texx]b[/texx] nunca será negativo. Ahora lo corrijo.

Saludos!
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