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Autor Tema: Muestre que d es una métrica sobre X  (Leído 176 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Julio_fmat
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« : 10/09/2017, 08:44:53 pm »

Sea [texx]d: X\times X\to \mathbb{R}[/texx] una métrica definida por [texx]d(x,y)=\left |{x-y}\right |[/texx], para cada [texx]x,y\in \mathbb{R}.[/texx] Sea [texx]\overline{d}: \mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}^{+}[/texx] la aplicación definida por [texx]\overline{d}(x,y)=\min\{d(x,y),1\}[/texx]. Muestre que [texx]\overline{d}[/texx] es una métrica sobre [texx]X[/texx].

Hola, mi problema es con la desigualdad triangular... :BangHead:

PDQ: [texx]\overline{d}(x,z)\le \overline{d}(x,y)+\overline{d}(y,z)[/texx], para cada [texx]x,y,z\in X.[/texx]

Tenemos que, [texx]\overline{d}(x,z)=\min\{d(x,z),1\}[/texx]. Como [texx]d[/texx] es métrica, también es, [texx]d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)[/texx], para cada [texx]x,y,z\in X.[/texx]

Mi pregunta es ahora, si podemos acotar o encontrar una cota dentro del mínimo? Creo que no, porque el valor del minimo o es [texx]d(x,z)[/texx] o es 1.
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« Respuesta #1 : 10/09/2017, 09:18:36 pm »

Si [texx] \overline{d}(x,z) = |x-z| [/texx]  entonces [texx]|x-z| \leq 1 [/texx] y además [texx]|x-z| \leq |x-y|+|y-z| [/texx]

Si [texx]|x-y| \geq 1 [/texx] o [texx]|y-z| \geq 1 [/texx] entonces tienes la desigualdad.

Si [texx]|x-y| < 1 [/texx] y [texx]|y-z| < 1 [/texx] entonces tienes la desigualdad por [texx]|x-z| \leq |x-y|+|y-z| [/texx].

Ahora haz el caso cuando :

[texx] \overline{d}(x,z) = 1 [/texx]

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Julio_fmat
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« Respuesta #2 : 11/09/2017, 11:38:37 am »

Si [texx] \overline{d}(x,z) = |x-z| [/texx]  entonces [texx]|x-z| \leq 1 [/texx] y además [texx]|x-z| \leq |x-y|+|y-z| [/texx]

Si [texx]|x-y| \geq 1 [/texx] o [texx]|y-z| \geq 1 [/texx] entonces tienes la desigualdad.

Si [texx]|x-y| < 1 [/texx] y [texx]|y-z| < 1 [/texx] entonces tienes la desigualdad por [texx]|x-z| \leq |x-y|+|y-z| [/texx].

Ahora haz el caso cuando :

[texx] \overline{d}(x,z) = 1 [/texx]

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Muchas Gracias Juan Pablo  Aplauso

¿Por qué razón [texx]\overline{d}(x,z)=|x-z|\le 1[/texx]?
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« Respuesta #3 : 11/09/2017, 12:08:16 pm »

Por que en el caso de que [texx]|x-z| = 1 [/texx] puedes tomar como mínimo tanto a el [texx]1[/texx] como [texx]|x-z|[/texx]

Editado

¿Preguntas  la razón de la elección de los dos casos [texx]\overline{d}(x,z) \leq 1[/texx] y [texx]\overline{d}(x,z) > 1[/texx]?







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