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Autor Tema: Ecuaciones de Cauchy-Riemann  (Leído 141 veces)
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Dongatomate
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« : 10/09/2017, 05:02:56 pm »

Buenas, tengo dudas con la resolución del siguiente ejercicio:

Demostrar que en el punto z=0 la función [texx]f(z)=\sqrt[ ]{\left |{xy}\right |}[/texx] verifica las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pero no tiene derivada.

Cuando empiezo a analizar veo que claramente F esta definida para los xy>0; entonces saco las barras de valor absoluto predefiniendo lo siguiente;

[texx]dom(f)=\mathbb{C}-(xy<0)[/texx]

entonces teniendo en mano la funcion

[texx]f(z)=\sqrt[ ]{{xy}}[/texx]

veo que es de la forma;


[texx]\sqrt[ ]{{xy}}+0i[/texx]

por lo que [texx]u(x,y)=\sqrt[ ]{ {xy}}[/texx] [texx]v(x,y)=0[/texx]

[texx]u_x(x,y)=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{y}}{2\sqrt[ ]{x}}[/texx]
[texx]u_y(x,y)=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x}}{2\sqrt[ ]{y}}[/texx]
[texx]v_x(x,y)=0[/texx]
[texx]v_y(x,y)=0[/texx]

pero viendo las ecuaciones z=0 no es posible para cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 10/09/2017, 05:09:32 pm »

Hola

 Tienes mal halladas las parciales en el punto [texx](x_0,y_0)=(0,0).[/texx]

 Por definición:

[texx]u_x(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}{}\dfrac{u(0+h,0)-u(0,0)}{h}=\dfrac{0-0}{h}=0[/texx]

 La fórmula que tu usabas sólo vale para [texx]x\neq 0[/texx], porque la función [texx]\sqrt{|x|}[/texx] no es derivable en [texx]0[/texx].

Saludos.
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Dongatomate
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« Respuesta #2 : 11/09/2017, 12:02:27 pm »

Claro  :BangHead:, tienes razón. Gracias!
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