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Autor Tema: Probar que la Función es convexa de la Esperanza...  (Leído 81 veces)
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Francois
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« : 09/09/2017, 08:59:23 pm »

Buenas con todos.

Por favor podrían explicarme como va la solución de este problema.

Me confunde la definición de [texx] f [/texx]para empezar aplicar las definiciones.
Sospecho que  se debe utilizar la desigualdad de Jensen. No sé 


Problema

Considera una variable discreta [texx]Y[/texx] con valores [texx]y_1<y_2<\cdots <y_m[/texx] con probabilidades [texx] p_1,p_2,\cdots p_m[/texx]
Para cada nivel propuesto[texx] x \in \mathbb{R}[/texx], podemos calcular el valor esperado del défi cit respecto a [texx]x[/texx] mediante

                                                                 [texx] f(x):=\mathbb{E}[max(0,x-Y)][/texx]

(a) Pruebe que [texx]f(x)=\displaystyle\sum_{\{k:y_k <x\}}^{}p_k(x-y_k)[/texx]

(b) Pruebe que [texx]f [/texx]es una función convexa.


Gracias por la ayuda.

Saludos !
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 10/09/2017, 02:10:11 pm »

Hola

Buenas con todos.

Por favor podrían explicarme como va la solución de este problema.

Me confunde la definición de [texx] f [/texx]para empezar aplicar las definiciones.
Sospecho que  se debe utilizar la desigualdad de Jensen. No sé 


Problema

Considera una variable discreta [texx]Y[/texx] con valores [texx]y_1<y_2<\cdots <y_m[/texx] con probabilidades [texx] p_1,p_2,\cdots p_m[/texx]
Para cada nivel propuesto[texx] x \in \mathbb{R}[/texx], podemos calcular el valor esperado del défi cit respecto a [texx]x[/texx] mediante

                                                                 [texx] f(x):=\mathbb{E}[max(0,x-Y)][/texx]

(a) Pruebe que [texx]f(x)=\displaystyle\sum_{\{k:y_k <x\}}^{}p_k(x-y_k)[/texx]

(b) Pruebe que [texx]f [/texx]es una función convexa.


Ten en cuenta que dado que [texx]Y[/texx] toma los valores  ordenados de menor a mayor [texx]y_1,y_2,\ldots,y_m[/texx] entonces fijado [texx]x[/texx] la variable [texx]x-Y[/texx], la variable [texx]x-Y[/texx] toma los valores ordenados de mayor a menor [texx]x-y_1,x-y_2,\ldots,x-y_m[/texx].

Y a su vez [texx]max\{0,x-Y\}[/texx] toma los valores:

[texx]x-y_1,\ldots,x-y_k,0[/texx]

donde [texx]y_i[/texx] es el mayor de los valores de [texx]Y[/texx] tal que [texx]y_k<x[/texx].

Por tanto:

[texx]E[max(0,x-Y)]=(x-y_1)P(y_1)+(x-y_2)p(y_2)+\ldots+(x-y_k)p(y_k)+0\cdot (P(Y\geq x))[/texx]

Intenta ahora probar la convexidad por definición; te ayudará hacer un dibujo. Nota que la función [texx]f(x)[/texx] es una linea continua formada por rectas de pendiente cada vez mayor.

Saludos.
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Francois
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« Respuesta #2 : 11/09/2017, 03:16:03 am »

Hola el_manco

Muchísimas gracias por la ayuda.

Lo entendí  :cara_de_queso:

Saludos!
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