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Autor Tema: Continuidad de solución de Cauchy  (Leído 144 veces)
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Alfonso
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« : 08/09/2017, 10:55:48 pm »

Buen día, favor su apoyo en este ejercicio.

Denote por [texx]I(t_{0},x_{0})=(\varpi_{-}(t_{0},x_{0}),\varpi_{+}(t_{0},x_{0}))[/texx] un intervalo máximo definido en la solución [texx]\varphi=\varphi(t,t_{0},x_{0})[/texx] del problema de Cauchy.
[texx]x'=f(x)g(x)[/texx],    [texx]x(t_{0})=x_{0}[/texx]
donde [texx]t_{0}\in{(t_{1},t_{2})\times{(a_{1},a_{2})}}[/texx].  [texx]f[/texx] y [texx]g[/texx] son continuas en el intervalo [texx](t_{1},t_{2})[/texx] y [texx](a_{1},a_{2})[/texx] respectivamente ademas [texx]f[/texx] no se anula en [texx](a_{1},a_{2})[/texx].

a) Mostrar que:
[texx]D=\{(t,t_{0},x_{0})  / (t_{0},x_{0})\in{(t_{1},t_{2})\times{(a_{1},a_{2})}}, t\in{I(t_{0},x_{0})}  \}[/texx] es abierto y que [texx]\varphi[/texx] es continua en [texx]D[/texx]

b) Calcule [texx]D[/texx] y [texx]\varphi[/texx] en el  caso [texx]x'=x^{2}cost[/texx]    [texx]x\neq{0}[/texx]
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« Respuesta #1 : 09/09/2017, 09:45:05 am »

Hola.

1. Prueba que si [texx]D[/texx] no fuese abierto, [texx]I(t_{0},x_{0})=(\varpi_{-}(t_{0},x_{0}),\varpi_{+}(t_{0},x_{0}))[/texx] no sería el intervalo maximal de [texx]\varphi[/texx].

2. Hay una errata, debe ser [texx]x'=f(x)g(t)[/texx] (o viceversa). A partir de aquí prueba que [texx]g(t) = (F \circ \varphi)'(t)[/texx] siendo [texx]F:(a_1,a_2) \to \mathbb{R}[/texx] tal que [texx]F(x) = \displaystyle \int_{x_0}^x \dfrac{d\xi}{f(\xi)}[/texx], integra a ambos lados en la igualdad de [texx]g[/texx], y usa el teorema fundamental del calculo junto con propiedades de funciones inversas para deducir la continuidad de [texx]\varphi[/texx].

Saludos.
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[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
Alfonso
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« Respuesta #2 : 11/09/2017, 06:56:43 pm »

Gracias, tengo una consulta acerca de la parte (b)

Desarrollando la solución de la ecuación
[texx]x'=x^{2}cos(t)[/texx]
es:
[texx]\varphi(t)=\displaystyle\frac{1}{-sen(t)+x_{0}+sen(t_{0})+\displaystyle\frac{1}{x_{0}}}[/texx]
Se observa que [texx]\varphi[/texx] es de clase [texx]C^{1}[/texx] mi pregunta es ¿que forma tiene [texx]D[/texx]?

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« Respuesta #3 : 11/09/2017, 09:03:47 pm »

Hola.

La solución [texx]\varphi[/texx] que das es incorrecta, revisa los cálculos. Para hallar la forma de [texx]D[/texx], primero halla el intervalo maximal de solución. Después halla el intervalo en el que [texx]f[/texx] y [texx]g[/texx] son continuas. No tienes más que seguir el desarrollo del apartado [texx]a)[/texx].

pd: ahora sí que lo es.

Saludos.
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[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
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