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Autor Tema: Sigma álgebra de Borel  (Leído 135 veces)
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Alfonso
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« : 07/09/2017, 08:00:32 pm »

Buen día, necesito su apoyo para el siguiente ejercicio.

Mostrar que los siguientes conjuntos:

a) [[texx]supx_{n}> A[/texx]]  [texx]A\in{\mathbb{R}}[/texx]
b) [[texx]infx_{n}< A[/texx]]   [texx]A\in{\mathbb{R}}[/texx]
c) [[texx]\overline{lim}x_{n}<a[/texx]]  [texx]a\in{\mathbb{R}}[/texx]
d) [[texx]\varliminf x_{n}>a[/texx]]   [texx]a\in{\mathbb{R}}[/texx]
e)[[texx]x_{n} [/texx] es convergente]
f) [[texx]limx_{n}>a[/texx]]    [texx]a\in{\mathbb{R}}[/texx]
g) [[texx]\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\left |{x_{n}}\right |}<\infty[/texx]]

Son elementos de [texx]\mathbb{B(R^{\infty})}[/texx]

Les solicito alguna idea por favor.









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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 08/09/2017, 07:30:51 am »

Hola

¿Qué topología estás usando en [texx]\mathbb{R}^\infty[/texx]?.

 ¿La producto? ¿La de las cajas? ¿Alguna otra?.

Saludos.
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Alfonso
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« Respuesta #2 : 08/09/2017, 10:09:29 am »

Buen día, este [texx]\sigma[/texx]-álgebra  es generado por cilindros en [texx]\mathbb{R^{N}}[/texx]
De la siguiente forma:
[texx]\mathbb{R^{N}}=\{ x:x=(x_{n}:n\in{\mathbb{N}})=(x_{1},x_{2}, . . .), x_{n}\in{\mathbb{R}}, n=1,2, . . . \}[/texx]

Un subconjunto de [texx]\mathbb{R^{N}}[/texx] de la forma

[texx]C(i_{1}, i_{2}, . . . , i_{n};B^{(n)})=\{x\in{\mathbb{R^{N}}}:(x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, . . . , x_{i_{n}})\in{B^{(n)}}\}, B^{(n)}\subset{\mathbb{R^{n}}}[/texx]

es llamado cilindro (conjunto cilíndrico) de dimensión finito en [texx](i_{1}, i_{2}, . . . , i_{n})[/texx] con base [texx]B^{(n)}[/texx]. Notemos que un cilindro con base en [texx]\mathbb{R^{n}}[/texx] también puede ser pensado conociendo una base en [texx]\mathbb{R^{n+1}}[/texx], pues

[texx]C(i_{1}, i_{2}, . . . , i_{n};B^{(n)})=C(i_{1}, i_{2}, . . . , i_{n}, i_{n+1};B^{(n)}\times{\mathbb{R}})[/texx]



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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 12/09/2017, 06:59:02 am »

Hola

 Ok. Es la topología producto.

 Alguna idea...

 a) Ten en cuenta que:

[texx] \{(x_n)|sup x_n>A\}=\displaystyle\bigcup_{k\in \mathbb{N}} \{(x_n)|x_k>A\}[/texx]

 b) Análogo.

 c) [texx]\{(x_n)|\overline{lim}x_{n}<a\}=\displaystyle\bigcup_{k\in \mathbb{N}} \{(x_n)|x_m\leq a,\textsf{ si }m\geq k\}[/texx]

[texx]\{(x_n)|x_m\leq a,\textsf{ si }m\geq k\}=\displaystyle\bigcap_{l\geq k}\{(x_n)|x_l\leq a\}[/texx]

[texx]\{(x_n)|x_l\leq a\}=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}-\{(x_n)|x_l>a\}[/texx]

 d) Análogo.
 
Saludos.
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