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Autor Tema: Aplicando Lema DOOB-DYNKIN  (Leído 112 veces)
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Francois
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« : 07/09/2017, 12:17:27 am »

Buenas con todos.
Espero tengan  un excelente día  :sonrisa_amplia:. Éxitos para todos  :sonrisa:

Espero puedan ayudarme a ver si es correcto la solución del siguiente problema.


Problema
Sea [texx](\Omega=[0,1[[/texx], [texx]P=0.5[/texx] Lebesgue ,[texx] \mathcal{F}=\sigma(\mathcal{B})[/texx] familia de Borelianos de [texx]\Omega=[0,2[[/texx]) y sean [texx] X(w)=int(2w)[/texx] e [texx]Y(w)=sign(1-w)[/texx]. ¿Puede encontrar una función medible real de variable real tal que [texx]Y=h(X)[/texx]?

Idea:

Para esto estoy suponiendo que debemos utilizar el siguiente LEMA.

LEMA(DOOB-DYNKIN)

Sea [texx]X,Y[/texx] variables aleatorias , si [texx]X[/texx] es [texx]\sigma(Y)[/texx]-medible Entonces Existe una función Borel medible [texx]f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] tal que [texx] X=F(Y)[/texx]


Para ello debemos encontrar los sigma álgebra de cada variable aleatoria.

Una pregunta idéntica para encontrar los sigmas álgebras de las variables lo hice aquí http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=97850.0



 Me confunde  un poco [texx](\Omega=[0,1[,P=0.5Leb,\mathcal{F}=\mathcal{B}([0,2[)[/texx] ), será correcto lo siguiente.
[texx]
X(w)=\begin{cases}{ 0}&\text{si}& w\in [0,1/2)\\1 & \text{si}& w\in [1/2,1)  \end{cases}[/texx]

[texx]\sigma(X)=\{[0,1/2),[1/2,1)\}[/texx]

[texx]
Y(w)=\begin{cases}{ 0}&\text{si}& w=1\\1 & \text{si}& w\in [0,1)  \end{cases}[/texx]

[texx]\sigma(Y)=\{[0,1),\{1\}\}[/texx]

Luego como [texx]\sigma(X)\subseteq{\sigma(Y)}[/texx] [texx]X[/texx] es [texx]\sigma(Y)[/texx] medible y por el Lema
Existe una función Borel medible [texx]f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] tal que [texx] X=h(Y)[/texx]

Es correcto?  


Muchas Gracias.
Saludos!
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 07/09/2017, 06:53:16 am »

Hola
 
 Tres cosas:

 1) [texx]\Omega[/texx] es [texx][0,1)[/texx] ó es [texx][0,2)[/texx]

 2) Cuando escribes [texx] \sigma(X)=\{[0,1/2),[1/2,1)\}[/texx] se sobrentiende que te refieres al [texx]\sigma[/texx]-álgebra generada por esos conjuntos. Es decir si quieres enumerar toda la [texx]\sigma[/texx]-álgebra te faltaría en este caso el vacío  y el total). Lo mismo para [texx]\sigma(Y)[/texx].

 3) No es cierto que [texx]\sigma(X)\subset \sigma(Y)[/texx]. Por ejemplo [texx][0,1/2)\in \sigma(X)[/texx] pero [texx][0,1/2)\not\in \sigma(Y)[/texx].

Saludos.
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Francois
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« Respuesta #2 : 07/09/2017, 04:25:08 pm »

Eso es lo que me confunde.
El problema es así.

[texx]\Omega =[0,1)[/texx]  y el [texx]\mathcal{F}=\mathcal{B}[0,2)[/texx]


Quiere decir que no existe esa función de Borel que cumpla la cuestión?

Muchas Gracias!
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 12/09/2017, 06:27:14 am »

Hola

Eso es lo que me confunde.
El problema es así.

[texx]\Omega =[0,1)[/texx]  y el [texx]\mathcal{F}=\mathcal{B}[0,2)[/texx]

Pues tienes que revisar y escribir con precisión el enunciado. Lo que no tiene sentido es que en una misma línea pongas:

Problema
Sea [texx](\Omega=[0,1[[/texx], [texx]P=0.5[/texx] Lebesgue ,[texx] \mathcal{F}=\sigma(\mathcal{B})[/texx] familia de Borelianos de [texx]\Omega=[0,2[[/texx]) y sean [texx] X(w)=int(2w)[/texx] e [texx]Y(w)=sign(1-w)[/texx]. ¿Puede encontrar una función medible real de variable real tal que [texx]Y=h(X)[/texx]?

[texx]\Omega[/texx] o es un conjunto o es otro. Pero no los dos al mismo tiempo.


Cita
Quiere decir que no existe esa función de Borel que cumpla la cuestión?

Si [texx]\Omega=[0,1[[/texx], correcto.

Saludos.
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