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Autor Tema: Problema de geometría: paralelepípedo inscrito en otro  (Leído 207 veces)
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Arkhé
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« : 06/09/2017, 09:52:19 am »

Buenas,

Llevo días intentando resolver el problema de geometría (examen de primer grado de universidad) que a continuación expongo sin obtener resultado alguno y la verdad es que me estoy obsesionando un poco.

Enunciado:

Dados los puntos  A = (1, 2, 3),  B = (4, 5, 3)  y  C = (4, 5, 6), vértices de un paralelogramo ABCD y el punto  E = (1, 5, 6)  tal que unido al vértice A forma una arista de un paralelepípedo P.
Cada cara del triedro A, B, C, E del paralelepípedo es cortada en partes iguales mediante dos planos paralelos a una cara de las dos y por otros dos planos paralelos a la otra, para obtener un paralelepípedo Q en el interior del paralelepípedo P.
Calcule el volumen de Q y determine los vértices AQ, BQ, CQ, EQ de Q que se sitúan en las posiciones similares a la de los vértices A, B, C, E en P

Agradecería mucho si alguien pudiera desarrollar la resolución o encaminarme hacia ella ya que no hallo las condiciones necesarias para poder determinar los vértices que me piden
Muchas gracias y un saludo a todos
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #1 : 07/09/2017, 06:25:14 am »

Buenas,

Llevo días intentando resolver el problema de geometría (examen de primer grado de universidad) que a continuación expongo sin obtener resultado alguno y la verdad es que me estoy obsesionando un poco.

Enunciado:

Dados los puntos  A = (1, 2, 3),  B = (4, 5, 3)  y  C = (4, 5, 6), vértices de un paralelogramo ABCD y el punto  E = (1, 5, 6)  tal que unido al vértice A forma una arista de un paralelepípedo P.

Podemos completar el paralelepípedo fácilmente. El punto [texx]D[/texx] es el simétrico del [texx]A[/texx] respecto del punto medio [texx]M\textrm{ de }B\textrm{ y }C[/texx], o el resultado de trasladar [texx]A[/texx] por el vector [texx]\overrightarrow{BC}[/texx]. Utilicemos este segundo procedimiente:

[texx]\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}- \overrightarrow{OB}= (4,5,6)-(4,5,3) = (0,0,3)[/texx]

[texx]\overrightarrow{OD}= \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}= (1,2,3)+(0,0,3)= (1, 2, 6)\;\Rightarrow{}\; D =(1,2,6)[/texx]

Igualmente se pueden calcular los puntos F, G y H que completan el paralelepípedo:

[texx]\overrightarrow{BF}= \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AE}= (4,5,3)+(0,3,3)= (4, 8, 6)\;\Rightarrow{}\; F =(4,8,6)[/texx]

[texx]\overrightarrow{CG}= \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{AE}= (4,5,6)+(0,3,3)= (4, 8, 9)\;\Rightarrow{}\; G =(4,8,9)[/texx]

[texx]\overrightarrow{DH}= \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{AE}= (1,2,6)+(0,3,3)= (1, 5, 9)\;\Rightarrow{}\; H =(1,5,9)[/texx]

Cada cara del triedro A, B, C, E del paralelepípedo es cortada en partes iguales mediante dos planos paralelos a una cara de las dos y por otros dos planos paralelos a la otra, para obtener un paralelepípedo Q en el interior del paralelepípedo P.
Calcule el volumen de Q y determine los vértices AQ, BQ, CQ, EQ de Q que se sitúan en las posiciones similares a la de los vértices A, B, C, E en P

Ese párrafo no llego a entenderlo del todo. Un triedro es un ángulo sólido limitado por tres palnos, que tienen un vértice común. Estos planos podrían ser tres de las caras del tetraedro, ¿pero cual es el vértice de los cuatro? Cuando dice que las caras se cortan en partes iguales, ¿se refiere a las del peralelepípedo P?

Si es así, las aristas de [texx]Q[/texx] miden la tercera parte que las de [texx]P[/texx], por lo que [texx]V(Q) = \displaystyle\frac{1}{27}V(P)[/texx]

En cuanto al volumen de P lo puedes calcular mediante el valor absoluto del producto triple:

[texx]V(P) = \left |{\overrightarrow{AB}\cdot{}\left(\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AE}\right)}\right |[/texx]

El producto triple se puede calcular también simplemente como el determinate formado por las componentes de los tres vectores.

Saludos,
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« Respuesta #2 : 07/09/2017, 08:58:35 am »

Muchas gracias ilarrosa por tu respuesta.

La verdad es que la pregunta está muy mal redactada pero tu interpretación creo que es la correcta con lo que te estoy muy agradecido.

Me gustaría que cuando puedas me confirmaras si cuando calculas el punto D cometes un despiste al calcularlo como traslación en A de BC y no como traslación en C de AB o el error es mío.

Un abrazo.
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« Respuesta #3 : 08/09/2017, 07:08:07 am »

Muchas gracias ilarrosa por tu respuesta.

La verdad es que la pregunta está muy mal redactada pero tu interpretación creo que es la correcta con lo que te estoy muy agradecido.

Me gustaría que cuando puedas me confirmaras si cuando calculas el punto D cometes un despiste al calcularlo como traslación en A de BC y no como traslación en C de AB o el error es mío.

Un abrazo.

Disculpa que no te contestase antes, pero es que estoy de viaje.

Lo puedes calcular trasladando el punto [texx]\textrm{A por }\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD},\textrm{
 o }C\textrm{ por }\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}[/texx]

Saludos,
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« Respuesta #4 : 09/09/2017, 07:40:35 am »

ilarrosa disculpa que insista pero creo que el vector OD no es igual al vector OA+BC sino que esta suma nos daría el vector posición del punto simétrico de D respecto de C ¿No?
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #5 : 10/09/2017, 03:15:13 pm »

ilarrosa disculpa que insista pero creo que el vector OD no es igual al vector OA+BC sino que esta suma nos daría el vector posición del punto simétrico de D respecto de C ¿No?

No, [texx]\overrightarrow{BC}\equiv{}\overrightarrow{AD}[/texx] considerados como vectores libres, pues tienen idéntica dirección módulo y sentido, al tratarse [texx]ABCD[/texx] de un paralelogramo.

Y [texx]\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OD}[/texx].

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« Respuesta #6 : 11/09/2017, 10:15:13 am »


Disculpa, he detectado el error de mi planteamiento.

Lo que yo planteo sería aplicable a un paralelogramo de vértices ABDC y no a uno de vértices ABCD como pide el enunciado.

Gracias y un saludo.
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