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Autor Tema: Duda y ayuda con un ejercicio sobre límites  (Leído 159 veces)
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« : 06/09/2017, 01:31:49 am »

Hola!
Tengo dos dudas,

1.Tengo una duda al momento de calcular límites  :indeciso:, como por ejemplo en el siguiente límite [texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to(0,0)}{\displaystyle\frac{xy}{x+y}}[/texx] que no existe, lo primero que hice fue "investigar" que pasaba cuando me acercaba por rectas de la forma [texx]y=mx[/texx] y me dio 0, luego intente con [texx]y=x^2[/texx] y también me dio 0, así que empecé a sospechar que el límite existía, y lo estudié pasando a coordenadas polares, con lo que también me dio 0, pero luego en las soluciones leí que no existía, y me puse a "investigar" más, y cuando [texx]y=x^2-x[/texx] el limite me da -1.
Entonces, no me queda muy claro como encarar el calculo de limites  :indeciso: ¿Hay alguna forma "general" de sacar el limite que no sea intentando con rectas o curvas "especificas"? ¿Algún material para leer y entender un poco mejor el tema?

2.Luego tengo el siguiente ejercicio, también sobre limites:
Discutir según [texx]a,b\in{\mathbb{R}}[/texx] la existencia del limite [texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to (0,0)}{\displaystyle\frac{x^ay^b}{x^2+xy+y^2}}[/texx]
y no sé en que casos debo separar exactamente (solo estudié cuando [texx]a=b=0[/texx] que me da [texx]{+\infty}[/texx]  :avergonzado:) ¿Cómo me doy cuenta en que casos debo separar?

Agradezco de antemano su ayuda  :sonrisa:
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« Respuesta #1 : 06/09/2017, 03:10:45 am »

Lo cierto es que yo tampoco conozco el tema lo suficiente pero parece que no hay muchos teoremas o técnicas al respecto, mira por ejemplo aquí.

Mi intuición me dice que si numerador y denominador no son asintóticamente equivalentes entonces el límite no existe en puntos donde el denominador se anula, como es el caso de [texx]xy[/texx] y [texx]x+y[/texx]. Pero remarco que es sólo una intuición.

Donde el denominador no se anula la función es continua y por tanto su límite existe en todos los puntos. Creo que para estudiar estos límites se puede aplicar alguna versión de la regla de L'Hôpital para funciones multivaluadas, dejo un par de enlaces que hablan del tema

How to tell if a limit of a multi-variable function exists?

A L'Hôpital rule for multivariable functions

En general, como se discute en los enlaces dejados, es más fácil demostrar que un límite no existe que demostrar su existencia. Por otro lado si da la casualidad de que la función es totalmente diferenciable en el punto en cuestión entonces es continua en ese punto y por tanto el límite en ese punto existe.

P.D.: he abierto una pregunta sobre esto en MSE ya que a mí también me gustaría conocer más a fondo el tema.
Edición: añado otro enlace de MSE donde se discute extensamente este tema

Is there a step by step checklist to check if a multivariable limit exists and find its value?
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« Respuesta #2 : 07/09/2017, 11:09:54 pm »

Hola!
Gracias por los links  :sonrisa:
¿Qué significa que el numerador y el denominador sean asintóticamente equivalentes?

y respecto al ejercicio, ¿puede ser que tenga que separar en casos dependiendo de si [texx]a[/texx] o [texx]b[/texx] valgan 2 porque los términos del denominador son de 2do grado? 
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #3 : 08/09/2017, 08:15:37 am »

Hola!
Tengo dos dudas,

1.Tengo una duda al momento de calcular límites  :indeciso:, como por ejemplo en el siguiente límite [texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to(0,0)}{\displaystyle\frac{xy}{x+y}}[/texx] que no existe, lo primero que hice fue "investigar" que pasaba cuando me acercaba por rectas de la forma [texx]y=mx[/texx] y me dio 0, luego intente con [texx]y=x^2[/texx] y también me dio 0, así que empecé a sospechar que el límite existía, y lo estudié pasando a coordenadas polares, con lo que también me dio 0, pero luego en las soluciones leí que no existía, y me puse a "investigar" más, y cuando [texx]y=x^2-x[/texx] el limite me da -1.
Entonces, no me queda muy claro como encarar el calculo de limites  :indeciso: ¿Hay alguna forma "general" de sacar el limite que no sea intentando con rectas o curvas "especificas"? ¿Algún material para leer y entender un poco mejor el tema?

2.Luego tengo el siguiente ejercicio, también sobre limites:
Discutir según [texx]a,b\in{\mathbb{R}}[/texx] la existencia del limite [texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to (0,0)}{\displaystyle\frac{x^ay^b}{x^2+xy+y^2}}[/texx]
y no sé en que casos debo separar exactamente (solo estudié cuando [texx]a=b=0[/texx] que me da [texx]{+\infty}[/texx]  :avergonzado:) ¿Cómo me doy cuenta en que casos debo separar?

Agradezco de antemano su ayuda  :sonrisa:

Respecto del 1),la función no está definida par y = -x. ¿O te la definen expresamente de alguna forma? Suponiendo que en esos puntos la función no este definida de forma alguna, no debemos tenerlos en cuenta al hacer el límite, por lo que efectivamente la aproximación por rectas no resuelve nada. Pero si haces el cambio a polares, te queda:

[texx]\displaystyle\lim_{r \to{}0}{r\displaystyle\frac{\sen \theta \cos \theta}{\sen \theta + \cos \theta}}[/texx]

Pero este límite no es cero, pues aunque [texx]r\rightarrow{}0[/texx], el otro factor no está acotado, aún sin considerar la posibilidad [texx]\cos \theta = - \sen \theta[/texx]. Esta claro que cuando \theta tome valores cada vez más próximos a [texx]\displaystyle\frac{3\pi}{4}\textrm{ o }\displaystyle\frac{-\pi}{4}[/texx], se hace arbitrariamente grande. Si [texx]\theta[/texx] se aproxima a uno de estos valores mucho más rápidamente de lo que [texx]r \rightarrow{}0[/texx], el límite no va a ser cero, sino que incluso puede ser infinito. Utilizando una familia de parábolas tangentes a la recta [texx]y = -x\textrm{ en }x = 0[/texx], terminamos de despejar cualquier tipo de dudas.

En cuanto al punto 2., observa que el denominador so se anula nunca para [texx](x, y) \neq{} (0, 0)[/texx]. Pasando a polares, nos queda:

[texx]\displaystyle\lim_{r \to{}0}{r^{a+b-2}\cdot{}\displaystyle\frac{\cos^a \theta\cdot{}\sen^b \theta}{1 + \frac{1}{2}\sen\theta}}[/texx]

El segundo factor, que depende solo de [texx]\theta[/texx], está acotado, es siempre menor que uno en valor absoluto, si [texx]a, b \geq{}0[/texx]. Por tanto, existirá límite y será 0 siempre que [texx]a + b > 2[/texx], cuando el primer factor tiende a cero.

Saludos,

P.S. Deben verificarse ambas condiciones:  [texx]a, b \geq{} 0 \wedge  a + b > 2[/texx].
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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
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« Respuesta #4 : 08/09/2017, 11:31:12 am »

Hola!
Gracias por los links  :sonrisa:
¿Qué significa que el numerador y el denominador sean asintóticamente equivalentes?

Fue una tontería sin sentido que se me pasó por la cabeza, ahora edito la anterior respuesta.

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« Respuesta #5 : 10/09/2017, 07:20:47 pm »

Hola!
Tengo dos dudas,

1.Tengo una duda al momento de calcular límites  :indeciso:, como por ejemplo en el siguiente límite [texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to(0,0)}{\displaystyle\frac{xy}{x+y}}[/texx] que no existe, lo primero que hice fue "investigar" que pasaba cuando me acercaba por rectas de la forma [texx]y=mx[/texx] y me dio 0, luego intente con [texx]y=x^2[/texx] y también me dio 0, así que empecé a sospechar que el límite existía, y lo estudié pasando a coordenadas polares, con lo que también me dio 0, pero luego en las soluciones leí que no existía, y me puse a "investigar" más, y cuando [texx]y=x^2-x[/texx] el limite me da -1.
Entonces, no me queda muy claro como encarar el calculo de limites  :indeciso: ¿Hay alguna forma "general" de sacar el limite que no sea intentando con rectas o curvas "especificas"? ¿Algún material para leer y entender un poco mejor el tema?

2.Luego tengo el siguiente ejercicio, también sobre limites:
Discutir según [texx]a,b\in{\mathbb{R}}[/texx] la existencia del limite [texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to (0,0)}{\displaystyle\frac{x^ay^b}{x^2+xy+y^2}}[/texx]
y no sé en que casos debo separar exactamente (solo estudié cuando [texx]a=b=0[/texx] que me da [texx]{+\infty}[/texx]  :avergonzado:) ¿Cómo me doy cuenta en que casos debo separar?

Agradezco de antemano su ayuda  :sonrisa:

Respecto del 1),la función no está definida par y = -x. ¿O te la definen expresamente de alguna forma? Suponiendo que en esos puntos la función no este definida de forma alguna, no debemos tenerlos en cuenta al hacer el límite, por lo que efectivamente la aproximación por rectas no resuelve nada. Pero si haces el cambio a polares, te queda:

[texx]\displaystyle\lim_{r \to{}0}{r\displaystyle\frac{\sen \theta \cos \theta}{\sen \theta + \cos \theta}}[/texx]

Pero este límite no es cero, pues aunque [texx]r\rightarrow{}0[/texx], el otro factor no está acotado, aún sin considerar la posibilidad [texx]\cos \theta = - \sen \theta[/texx]. Esta claro que cuando \theta tome valores cada vez más próximos a [texx]\displaystyle\frac{3\pi}{4}\textrm{ o }\displaystyle\frac{-\pi}{4}[/texx], se hace arbitrariamente grande. Si [texx]\theta[/texx] se aproxima a uno de estos valores mucho más rápidamente de lo que [texx]r \rightarrow{}0[/texx], el límite no va a ser cero, sino que incluso puede ser infinito. Utilizando una familia de parábolas tangentes a la recta [texx]y = -x\textrm{ en }x = 0[/texx], terminamos de despejar cualquier tipo de dudas.

En cuanto al punto 2., observa que el denominador so se anula nunca para [texx](x, y) \neq{} (0, 0)[/texx]. Pasando a polares, nos queda:

[texx]\displaystyle\lim_{r \to{}0}{r^{a+b-2}\cdot{}\displaystyle\frac{\cos^a \theta\cdot{}\sen^b \theta}{1 + \frac{1}{2}\sen\theta}}[/texx]

El segundo factor, que depende solo de [texx]\theta[/texx], está acotado, es siempre menor que uno en valor absoluto, si [texx]a, b \geq{}0[/texx]. Por tanto, existirá límite y será 0 siempre que [texx]a + b > 2[/texx], cuando el primer factor tiende a cero.

Saludos,

P.S. Deben verificarse ambas condiciones:  [texx]a, b \geq{} 0 \wedge  a + b > 2[/texx].

Hola,

Cuando decís que  "Utilizando una familia de parábolas tangentes a la recta [texx]y = -x\textrm{ en }x = 0[/texx], terminamos de despejar cualquier tipo de dudas.", elegís la recta [texx]y=-x[/texx] porque pasando a polares tendría problemas en [texx]cos(\theta)=-sen(\theta)[/texx] o por qué seria?



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« Respuesta #6 : 11/09/2017, 04:17:45 am »

Hola!
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1.Tengo una duda al momento de calcular límites  :indeciso:, como por ejemplo en el siguiente límite [texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to(0,0)}{\displaystyle\frac{xy}{x+y}}[/texx] que no existe, lo primero que hice fue "investigar" que pasaba cuando me acercaba por rectas de la forma [texx]y=mx[/texx] y me dio 0, luego intente con [texx]y=x^2[/texx] y también me dio 0, así que empecé a sospechar que el límite existía, y lo estudié pasando a coordenadas polares, con lo que también me dio 0, pero luego en las soluciones leí que no existía, y me puse a "investigar" más, y cuando [texx]y=x^2-x[/texx] el limite me da -1.
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2.Luego tengo el siguiente ejercicio, también sobre limites:
Discutir según [texx]a,b\in{\mathbb{R}}[/texx] la existencia del limite [texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to (0,0)}{\displaystyle\frac{x^ay^b}{x^2+xy+y^2}}[/texx]
y no sé en que casos debo separar exactamente (solo estudié cuando [texx]a=b=0[/texx] que me da [texx]{+\infty}[/texx]  :avergonzado:) ¿Cómo me doy cuenta en que casos debo separar?

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[texx]\displaystyle\lim_{r \to{}0}{r\displaystyle\frac{\sen \theta \cos \theta}{\sen \theta + \cos \theta}}[/texx]

Pero este límite no es cero, pues aunque [texx]r\rightarrow{}0[/texx], el otro factor no está acotado, aún sin considerar la posibilidad [texx]\cos \theta = - \sen \theta[/texx]. Esta claro que cuando \theta tome valores cada vez más próximos a [texx]\displaystyle\frac{3\pi}{4}\textrm{ o }\displaystyle\frac{-\pi}{4}[/texx], se hace arbitrariamente grande. Si [texx]\theta[/texx] se aproxima a uno de estos valores mucho más rápidamente de lo que [texx]r \rightarrow{}0[/texx], el límite no va a ser cero, sino que incluso puede ser infinito. Utilizando una familia de parábolas tangentes a la recta [texx]y = -x\textrm{ en }x = 0[/texx], terminamos de despejar cualquier tipo de dudas.

Hola,

Cuando decís que  "Utilizando una familia de parábolas tangentes a la recta [texx]y = -x\textrm{ en }x = 0[/texx], terminamos de despejar cualquier tipo de dudas.", elegís la recta [texx]y=-x[/texx] porque pasando a polares tendría problemas en [texx]cos(\theta)=-sen(\theta)[/texx] o por qué seria?


Ya directamente vemos que los problemas están en la recta [texx]y =-[/texx]x. Si no podemos aproximarnos por ella al origen, porque la función no está definida, hagámoslo en esa dirección, mediante una curva que en el origen tenga la misma dirección que la recta pero que no tenga más puntos en común con ella; es decir, que sea tangente.

Estas parábolas son d la forma [texx]k(x-y)^2 = (x+y), k\in{}\mathbb{R}, k\neq{}0.[/texx] Sustituyendo [texx](x + y) [/texx]en la función, nos queda que en estas parábolas:

[texx]f(x, y) =\displaystyle\frac{xy}{k(x^2 - 2xy + y^2)}[/texx]

Está función es homogénea, por lo que al pasar a polares desaparece la [texx]r[/texx]:

[texx]f(r, \theta) = \displaystyle\frac{\cos \theta \sen \theta}{k(1 - 2\sen \theta \cos \theta)} =\displaystyle\frac{\sen(2\theta)}{2k(1 - \sen (2\theta))}[/texx]

A lo largo de esta parábolas, cuando [texx]r\rightarrow{}0,\; \theta \rightarrow{} \frac{3 \pi}{4}\textrm{ o }-\frac{\pi}{4},[/texx] con lo que [texx]\sen(2\theta) \rightarrow{}-1[/texx].  Por tanto, a lo largo de cada una de estás parábolas, el límite es [texx]-\frac{1}{4k}[/texx], y no hay límite de la función cuando [texx](x, y)\rightarrow{}(0, 0)[/texx].

Saludos,
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« Respuesta #7 : 13/09/2017, 12:50:10 am »

Bien, muchas gracias por la ayuda   :sonrisa:
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