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Autor Tema: Sobre la hipótesis de inducción  (Leído 1012 veces)
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feriva
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« Respuesta #40 : 10/09/2017, 03:57:03 pm »


Con la definición de sucesor no te puedes saltar ni uno.

También estoy de acuerdo.

Saludos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #41 : 10/09/2017, 04:40:27 pm »

Hola

 He leído el hilo, feriva, y soy incapaz de comprender que idea quieres explicar con tu reflexión:

- No sé si le ves algún fallo al enunciado del principio de inducción.
- No sé si pretendes usarlo para situaciones donde no se suele aplicar.
- No sé si crees que tiene algún fallo lógico.

No entiendo.

Mi impresión (vaga,por no entender el fondo de tu idea) es que la mayor parte de tus problemas vienen de un uso impreciso del lenguaje; de un uso difuso. De forma que basta concretar, precisar,  lo que está diciendo para que desaparezcan esos supuestos problemas.

Por ejemplo:

Pro ejemplo, parto de estos conjuntos, que son las raíces del polinomio:

[texx]A\equiv\{1,2,3\}
 [/texx] y [texx]\{5\}
 [/texx]

Añado el siguiente elemento al primer conjunto y obtengo [texx]1,2,3,4
 [/texx]

Sumo 1 a 5 y obtengo el conjunto [texx]\{6\}
 [/texx]

Hago la unión

[texx]\{1,2,3,4\}\cup\{6\}=\{1,2,3,4,6\}
 [/texx].

Repito el proceso y obtengo:

[texx]\{1,2,3,4,5\}\cup\{7\}=\{1,2,3,4,5,7\}
 [/texx].

Con esto voy obteniendo en el primer conjunto los naturales consecutivos; por otra parte voy sumando 1 a un natural para formar el segundo conjunto (por lo que será siempre un natural, por la propiedad de clausura algebraica, y además va al “ritmo” de 1 también).

Haciendo la unión iremos formando conjuntos de naturales donde siempre hay un hueco.

En un número infinito de pasos el conjunto “A” tendrá infinitos elementos

Eso de "en un número infinito de pasos" el conjunto A..." hay que precisarlo. En realidad tu en cada paso tomas un conjunto distinto. Llamémosle [texx]A_n[/texx]:

[texx]A_1=\{1,2,3,5\}[/texx]
[texx]A_2=\{1,2,3,4,6\}[/texx]

[texx]A_k=\{1,2,\ldots,k+2,k+4\}[/texx]

Se podría escribir de forma recursiva quien es [texx]A_k[/texx] en función de [texx]A_{k-1}[/texx], pero es un paso técnico que en principio no aporta nada.

Si quieres hablar de a que conjunto se llega "en el infinito" con esa construcción, hay que hacer alguna suerte de paso al límite, de límite de conjuntos. La forma usual es esta:

https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_(sucesi%C3%B3n_de_conjuntos)

y en este caso es fácil ver que:

[texx]A=\displaystyle\lim A_n=\mathbb{N}[/texx]

Ahora ya sabemos de que conjunto [texx]A[/texx] hablamos (lo otro era una vaguedad).

Cita
, por lo que al proceder por inducción sobre “n” en dicho conjunto “A”, el [texx]n+1
 [/texx] resultante pertenecerá a [texx]A[/texx], de lo contrario, no sería un conjunto infinito.


Esta afirmación no la entiendo. Un conjunto puede cumplir que un [texx]n[/texx] esté en [texx]A[/texx] pero un [texx]n+1[/texx] no esté en [texx]A[/texx] y sin embargo si ser infinito (por ejemplo los pares).

Cita
Así, sacaríamos la conclusión de que [texx]A=\mathbb{N}
 [/texx]; sin embargo, en la unión hay un natural más que cumple la propiedad.

Como te he dicho con cualquier interpretación razonable de límite de conjuntos el paso al límite de tu construcción efectivamente son todos los naturales. Y ese "uno más" no tiene sentido.

Saludos.
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feriva
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« Respuesta #42 : 10/09/2017, 05:24:22 pm »

Mi impresión (vaga,por no entender el fondo de tu idea) es que la mayor parte de tus problemas vienen de un uso impreciso del lenguaje; de un uso difuso. De forma que basta concretar, precisar,  lo que está diciendo para que desaparezcan esos supuestos problemas.

Por ejemplo:

Pro ejemplo, parto de estos conjuntos, que son las raíces del polinomio:

[texx]A\equiv\{1,2,3\}
 [/texx] y [texx]\{5\}
 [/texx]

Añado el siguiente elemento al primer conjunto y obtengo [texx]1,2,3,4
 [/texx]

Sumo 1 a 5 y obtengo el conjunto [texx]\{6\}
 [/texx]

Hago la unión

[texx]\{1,2,3,4\}\cup\{6\}=\{1,2,3,4,6\}
 [/texx].

Repito el proceso y obtengo:

[texx]\{1,2,3,4,5\}\cup\{7\}=\{1,2,3,4,5,7\}
 [/texx].

Con esto voy obteniendo en el primer conjunto los naturales consecutivos; por otra parte voy sumando 1 a un natural para formar el segundo conjunto (por lo que será siempre un natural, por la propiedad de clausura algebraica, y además va al “ritmo” de 1 también).

Haciendo la unión iremos formando conjuntos de naturales donde siempre hay un hueco.

En un número infinito de pasos el conjunto “A” tendrá infinitos elementos

Eso de "en un número infinito de pasos" el conjunto A..." hay que precisarlo. En realidad tu en cada paso tomas un conjunto distinto. Llamémosle [texx]A_n[/texx]:

[texx]A_1=\{1,2,3,5\}[/texx]
[texx]A_2=\{1,2,3,4,6\}[/texx]

[texx]A_k=\{1,2,\ldots,k+2,k+4\}[/texx]

Se podría escribir de forma recursiva quien es [texx]A_k[/texx] en función de [texx]A_{k-1}[/texx], pero es un paso técnico que en principio no aporta nada.

Si quieres hablar de a que conjunto se llega "en el infinito" con esa construcción, hay que hacer alguna suerte de paso al límite, de límite de conjuntos. La forma usual es esta:

https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_(sucesi%C3%B3n_de_conjuntos)

y en este caso es fácil ver que:

[texx]A=\displaystyle\lim A_n=\mathbb{N}[/texx]

Ahora ya sabemos de que conjunto [texx]A[/texx] hablamos (lo otro era una vaguedad).

Cita
, por lo que al proceder por inducción sobre “n” en dicho conjunto “A”, el [texx]n+1
 [/texx] resultante pertenecerá a [texx]A[/texx], de lo contrario, no sería un conjunto infinito.


Esta afirmación no la entiendo. Un conjunto puede cumplir que un [texx]n[/texx] esté en [texx]A[/texx] pero un [texx]n+1[/texx] no esté en [texx]A[/texx] y sin embargo si ser infinito (por ejemplo los pares).

Cita
Así, sacaríamos la conclusión de que [texx]A=\mathbb{N}
 [/texx]; sin embargo, en la unión hay un natural más que cumple la propiedad.

Como te he dicho con cualquier interpretación razonable de límite de conjuntos el paso al límite de tu construcción efectivamente son todos los naturales. Y ese "uno más" no tiene sentido.

Saludos.

Buenas noches, el_manco.

Ah, entonces ya veo, al ser el límite la unión de todos no falta ese elemento.

No tenía problema real con ello, pensé que era alguna paradoja aparente de esas relacionadas con el infinito que no iba a dar problema nunca, eso sí lo pensaba. Y no sabía lo del límite de las sucesiones de conjuntos


Muchas gracias.
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feriva
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« Respuesta #43 : 11/09/2017, 02:23:05 am »

Hola, el_manco.

Perdóname, que me puse a mirar cosas de sucesiones de conjuntos y no te contesté a una pregunta muy concreta e importante que me hacías.



Cita
, por lo que al proceder por inducción sobre “n” en dicho conjunto “A”, el [texx]n+1
 [/texx] resultante pertenecerá a [texx]A[/texx], de lo contrario, no sería un conjunto infinito.


Esta afirmación no la entiendo. Un conjunto puede cumplir que un [texx]n[/texx] esté en [texx]A[/texx] pero un [texx]n+1[/texx] no esté en [texx]A[/texx] y sin embargo si ser infinito (por ejemplo los pares).

El dominio son los naturales, entonces ahí tengo claro que [texx]n \neq n+1[/texx] por definición, pero entendí que, en el infinito, “n” y “n+1” son valores tan parecidos que se debía de considerar, como soluciones en el polinomio, [texx]P(n)=0 [/texx] y [texx]P(n+1)=0[/texx], con lo que cumplirían la propiedad.

(no, me había engañado la intuición, ya lo he comprobado)

Saludos.

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