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Autor Tema: Fórmula para una k-forma  (Leído 484 veces)
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alexis-gauss
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« : 01 Septiembre, 2017, 01:01 »

Hola, muy buenos días.
Me he visto en aprietos con este problema, a ver si me echan una ayuda, de antemano gracias

Sea [texx]e_1,...,e_n[/texx] una base del espacio vectorial [texx]V[/texx] y [texx]\sigma_1,...,\sigma_n[/texx] la correspondiente base dual. Entonces la siguiente fórmula se aplica para cada [texx]k-[/texx]forma [texx]\omega^k: \sum_{i=1}^n\sigma_i \wedge(e_i\dashv  \omega^k)=k\cdot \omega^k[/texx]

pd: [texx]\dashv [/texx] es el producto interior de [texx]e_i[/texx] con [texx]\omega^k[/texx]
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 01 Septiembre, 2017, 06:05 »

Hola

 Bienvenido al foro.

Hola, muy buenos días.
Me he visto en aprietos con este problema, a ver si me echan una ayuda, de antemano gracias

Sea [texx]e_1,...,e_n[/texx] una base del espacio vectorial [texx]V[/texx] y [texx]\sigma_1,...,\sigma_n[/texx] la correspondiente base dual. Entonces la siguiente fórmula se aplica para cada [texx]k-[/texx]forma [texx]\omega^k: \sum_{i=1}^n\sigma_i \wedge(e_i\dashv  \omega^k)=k\cdot \omega^k[/texx]

pd: [texx]\dashv [/texx] es el producto interior de [texx]e_i[/texx] con [texx]\omega^k[/texx]

Por definición para vectores cualesquiera [texx]x_1,x_2,\ldots,x_k[/texx]:

[texx] \displaystyle \sum_{i=1}^n\sigma_i \wedge(e_i\dashv  \omega^k)(x_1,x_2,\ldots,x_k)= \displaystyle \sum_{i=1}^n\displaystyle \sum_{j=1}^k(-1)^{j-1}\sigma_i(x_j)(e_i\dashv  \omega^k)(x_1,\ldots,\check{x_j},\ldots,x_k)=
\displaystyle \sum_{i=1}^n\displaystyle \sum_{j=1}^k(-1)^{j-1}\sigma_i(x_j)\omega^k(e_k,x_1,\ldots,\check{x_j},\ldots,x_k)=[/texx]

[texx]=\displaystyle \sum_{i=1}^n\displaystyle \sum_{j=1}^k\sigma_i(x_j)\omega^k(x_1,\ldots,\underbrace{e_i}_j,\ldots,x_k)=
\displaystyle \sum_{j=1}^k\omega^k(x_1,\ldots,\underbrace{\sum_{i=1}^n\sigma_i(x_j)e_i}_j,\ldots,x_k)=
\displaystyle \sum_{j=1}^k\omega^k(x_1,\ldots,x_j,\ldots,x_k)=k\omega^k(x_1,\ldots,x_j,\ldots,x_k)[/texx]

Saludos.

P.D. [texx](x_1,\ldots,\check{x_j},\ldots,x_k)[/texx] significa que precisamente  [texx]x_j [/texx] no aparece.
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alexis-gauss
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« Respuesta #2 : 01 Septiembre, 2017, 16:37 »

Gracias por la bienvenida y la ayuda, he entendido lo que has hecho el_manco.. Saludos cordiales
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