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Autor Tema: Problema de divisibilidad de enteros  (Leído 171 veces)
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francoz
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« : 28/08/2017, 02:54:00 pm »

Hola, tengo un problema de divisibilidad de enteros en el cual no se me ocurre nada para resolverlo, es más pienso que con los datos que tengo es imposible, pero por suerte mi conocimiento tiende a nulo  :rodando_los_ojos:

Siendo [texx]p, q, b \in{N}[/texx] determinar cuáles son los valores posibles para estas variables tales que:
[texx](2^p - 3^q) | b[/texx]
donde también [texx](2^p - 3^q)[/texx] debe ser distinto de [texx]b[/texx]

Estando [texx]b[/texx] definida de forma recursiva tal que:

[texx]b:\begin{cases} a_0 & \text{=}& 1\\a_n & \text{=}& 3.a_{n-1} + 2^{p+n-q}\end{cases}[/texx]
Iterando [texx]a_n[/texx] hasta que [texx]n = q - 1[/texx]

Se que no es la mejor definición, pero no se me ocurrió otra forma  :indeciso:
Notemos que [texx]b[/texx] depende totalmente de [texx]q[/texx] y [texx]p[/texx].

La forma mas fácil de encontrar valores de [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] que cumplan la condición es pensar lo siguiente:
Si [texx](2^p - 3^q) = 1[/texx] entonces fácilmente notamos que divide a [texx]b[/texx].

Este caso ya ha sido planteado en otro hilo

Por lo tanto la cuestión es hallar si existe [texx](2^p - 3^q) \neq{} 1[/texx] donde divida a [texx]b[/texx]

Perdonen porque creo que me lié mucho, pero no encontré otra forma de presentar el problema.

Saludos!

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robinlambada
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« Respuesta #1 : 28/08/2017, 04:51:04 pm »

Hola.
Hola, tengo un problema de divisibilidad de enteros en el cual no se me ocurre nada para resolverlo, es más pienso que con los datos que tengo es imposible, pero por suerte mi conocimiento tiende a nulo  :rodando_los_ojos:

Siendo [texx]p, q, b \in{N}[/texx] determinar cuáles son los valores posibles para estas variables tales que:
[texx](2^p - 3^q) | b[/texx]
donde también [texx](2^p - 3^q)[/texx] debe ser distinto de [texx]b[/texx]

Estando [texx]b[/texx] definida de forma recursiva tal que:

[texx]b:\begin{cases} a_0 & \text{=}& 1\\a_n & \text{=}& 3.a_{n-1} + 2^{p+n-q}\end{cases}[/texx]
Iterando [texx]a_n[/texx] hasta que [texx]n = q - 1[/texx]

Se que no es la mejor definición, pero no se me ocurrió otra forma  :indeciso:
Notemos que [texx]b[/texx] depende totalmente de [texx]q[/texx] y [texx]p[/texx].

La forma mas fácil de encontrar valores de [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] que cumplan la condición es pensar lo siguiente:
Si [texx](2^p - 3^q) = 1[/texx] entonces fácilmente notamos que divide a [texx]b[/texx].

Este caso ya ha sido planteado en otro hilo

Por lo tanto la cuestión es hallar si existe [texx](2^p - 3^q) \neq{} 1[/texx] donde divida a [texx]b[/texx]

Perdonen porque creo que me lié mucho, pero no encontré otra forma de presentar el problema.

Saludos!



La expresión que a mi me da para b es:

[texx]b=\displaystyle\sum_{i=0}^{q-1}{}3^i\cdot{}2^{p-i-1}[/texx] , con [texx]p\geq{}q[/texx]

Así sin verlo muy detenidamente, la solución que se me ocurre es [texx]p=q=2[/texx] y [texx]b=5[/texx] que es viene de que si p y q son pares:

[texx]2^p - 3^q=\big(2^{\frac p2} - 3^{\frac q2}\big)\big(2^{\frac p2} + 3^{\frac q2}\big)[/texx]

Intuyo a primera vista que no hay más soluciones, pero habría que  demostrarlo. ( a parte de [texx]b=1[/texx] que se vio en otro hilo que la solución era [texx]p=2[/texx] y [texx]q=1[/texx])

Tendré que pensarlo más detenidamente.

Saludos.
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Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.
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