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Autor Tema: nuevos problemas de divisibilidad  (Leído 969 veces)
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YeffGC
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« : 28/08/2017, 12:00:07 am »

a) Demuestre que (a,bc) es divisible por (a,b)

b)muestre que existen enteros x,y tales que [texx]x+y=s[/texx] y [texx](x,y)=s[/texx] si y solo si [texx]g|s[/texx]

c) Demuestre que si [texx]c|ab y. (c,d)=d\Rightarrow{c|db}[/texx]
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ingmarov
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« Respuesta #1 : 28/08/2017, 02:01:25 am »

Hola

a) Demuestre que (a,bc) es divisible por (a,b)

b)muestre que existen enteros x,y tales que [texx]x+y=s[/texx] y [texx](x,y)=s[/texx] si y solo si [texx]g|s[/texx]

c) Demuestre que si [texx]c|ab y. (c,d)=d\Rightarrow{c|db}[/texx]

A ver el primero

Si [texx](a,b)=d\qquad\Rightarrow\qquad d|a,b[/texx]

Supongamos que [texx]d\not | (a,bc)[/texx]

Pero hay contradicción ya que [texx]d|a[/texx] y [texx]d|b\Rightarrow d|bc[/texx]

Por lo que [texx](a,b)|(a,bc)[/texx]

El segundo ¿Está bien escrito?



Saludos
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robinlambada
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« Respuesta #2 : 28/08/2017, 07:34:38 am »

Hola YeffGC  ¿[texx](a,b)[/texx], es cualquier divisor común de a y b o el máximo común divisor?. (creo que es esto último).

De todas formas coincido con Ingmarov en que el segundo no esta bien redactado.

Y el tercero podría ser: [texx]c|ab \,\, y \,\, (a,c)=d\Rightarrow{c|db}[/texx]

Como lo has puesto pienso que está mal.  [texx](c,d)=d[/texx] solo dice que [texx]c[/texx] es múltiplo de [texx]d[/texx], pero no dice nada sobre [texx]d[/texx].

Basta tomar [texx]c=6[/texx], [texx]a=6[/texx] [texx]d=2[/texx] y [texx]b=5[/texx].

Saludos.

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« Respuesta #3 : 28/08/2017, 01:20:25 pm »

Hola

a) Demuestre que (a,bc) es divisible por (a,b)

b)muestre que existen enteros x,y tales que [texx]x+y=s[/texx] y [texx](x,y)=s[/texx] si y solo si [texx]g|s[/texx]

c) Demuestre que si [texx]c|ab y. (c,d)=d\Rightarrow{c|db}[/texx]

A ver el primero

Si [texx](a,b)=d\qquad\Rightarrow\qquad d|a,b[/texx]

Supongamos que [texx]d\not | (a,bc)[/texx]

Pero hay contradicción ya que [texx]d|a[/texx] y [texx]d|b\Rightarrow d|bc[/texx]

Por lo que [texx](a,b)|(a,bc)[/texx]

El segundo ¿Está bien escrito?



Saludos
Hola

a) Demuestre que (a,bc) es divisible por (a,b)

b)muestre que existen enteros x,y tales que [texx]x+y=s[/texx] y [texx](x,y)=s[/texx] si y solo si [texx]g|s[/texx]

c) Demuestre que si [texx]c|ab y. (c,d)=d\Rightarrow{c|db}[/texx]

A ver el primero

Si [texx](a,b)=d\qquad\Rightarrow\qquad d|a,b[/texx]

Supongamos que [texx]d\not | (a,bc)[/texx]

Pero hay contradicción ya que [texx]d|a[/texx] y [texx]d|b\Rightarrow d|bc[/texx]

Por lo que [texx](a,b)|(a,bc)[/texx]

El segundo ¿Está bien escrito?



Saludos
sí el segundo así me lo dejaron y no entiendo cual es la pregunta del tercero
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feriva
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« Respuesta #4 : 28/08/2017, 01:28:27 pm »


sí el segundo así me lo dejaron

Casi seguro que, en realidad, es esto

[texx]x+y=s
 [/texx]  con  [texx](x,y)=d
 [/texx] entonces [texx]d|s
 [/texx].

Saludos.
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« Respuesta #5 : 28/08/2017, 01:36:24 pm »

...
b)muestre que existen enteros x,y tales que [texx]x+y=s[/texx] y [texx](x,y)=s[/texx] si y solo si [texx]g|s[/texx]
...

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Feriva fue más veloz..



.
...
Y el tercero podría ser: [texx]c|ab \,\, y \,\, (a,c)=d\Rightarrow{c|db}[/texx]

Como lo has puesto pienso que está mal.  [texx](c,d)=d[/texx] solo dice que [texx]c[/texx] es múltiplo de [texx]d[/texx], pero no dice nada sobre [texx]d[/texx].

Basta tomar [texx]c=6[/texx], [texx]a=6[/texx] [texx]d=2[/texx] y [texx]b=5[/texx].

Saludos.



Robinlambada te dió un contraejemplo.
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« Respuesta #6 : 28/08/2017, 08:00:31 pm »

gracias trabajare en ello
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« Respuesta #7 : 30/08/2017, 02:22:23 pm »

Amigos volveré a escribir los problemas no me salen ya los intente y nada me gustaría verlos sin contradictorio
a) Demuestre que [texx](a,bc)[/texx] es divisible por [texx](a,b)[/texx] 

b) Muestre que existen enteros[texx]x,y[/texx] tales que [texx]x+y=s[/texx] y [texx](x,y)=g[/texx] si solo si [texx]g|s[/texx]

c) demuestre que si [texx]c|ab[/texx] y [texx](c,a)=d[/texx] entonces [texx]c|db[/texx]
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« Respuesta #8 : 30/08/2017, 03:49:49 pm »

Pero no hace falta que los vuelvas aponer intenta ver que es lo que no te sale.

Para el primero: [texx] d = mcd(a,b) [/texx] entonces [texx] a = d \cdot m [/texx] y [texx] b = d \cdot n [/texx] entonces:

[texx] mcd(a,bc) = mcd(d \cdot m,d \cdot n \cdot c) = d \cdot mcd ( m,n \cdot c) [/texx]
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« Respuesta #9 : 30/08/2017, 04:54:42 pm »

en el ejercicio b tengo probremas en el regreso de la demostracion. cuando tomo cietyo g|s
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #10 : 30/08/2017, 08:21:52 pm »

en el ejercicio b tengo probremas en el regreso de la demostracion. cuando tomo cietyo g|s

Tu mensaje no se entiende muy bien.

Haz un uso correcto de las reglas ortográficas.



Se debería pedir [texx] g \geq 1 [/texx], sea [texx]s = g \cdot t [/texx] tenemos que [texx]mcd(1,t-1) =1 [/texx]

Existen [texx]m,n \in \mathbb{Z} [/texx] verificando [texx] 1 = 1 \cdot m + (t-1) \cdot n [/texx] multiplicamos por [texx]g [/texx] y queda:

[texx]g = g \cdot m + g \cdot (t-1) \cdot n [/texx] hacemos ahora [texx]x=g [/texx]  y [texx] y = g \cdot (t-1) [/texx] y a seguir...

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« Respuesta #11 : 31/08/2017, 07:09:34 am »

Hola Juan Pablo.
Pero no hace falta que los vuelvas aponer intenta ver que es lo que no te sale.
Normalmente no hace falta, pero en este caso si, pues el apartado b) y c) estaban mal redactados en su primer mensaje como le advertimos.Los apartados ahora corregidos si tienen sentido.
Saludos.

Hola YeffGC
en el ejercicio b tengo probremas en el regreso de la demostracion. cuando tomo cietyo g|s
La demostración de Juan Pablo es impecable . Recuerda que solo te ha demostrado la implicación en un sentido, es decir.

Existen x,y tales que [texx]MCD(x,y)=g[/texx] y [texx]g|s[/texx] , entonces [texx]x+y=s[/texx] (para mí la más dificil)

Te dejamos que intentes la implicación contraria:  si [texx]x+y=s[/texx] y [texx]MCD(x,y)=g[/texx] , entonces [texx]g|s[/texx].

Pero esta a mi juicio es bastante más sencilla y rápida.

Respecto al c) ya corregido ,¿lo has resuelto, o necesitas una ayuda?
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« Respuesta #12 : 31/08/2017, 04:47:59 pm »

Hola Juan Pablo.
Pero no hace falta que los vuelvas aponer intenta ver que es lo que no te sale.
Normalmente no hace falta, pero en este caso si, pues el apartado b) y c) estaban mal redactados en su primer mensaje como le advertimos.Los apartados ahora corregidos si tienen sentido.
Saludos.

Toda la razón robinlambada, aunque creo que debería haber editado su primer mensaje.

Saludos.
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« Respuesta #13 : 01/09/2017, 08:26:20 am »

Buenas Tardes Feriva....


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Saludos...
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« Respuesta #14 : 01/09/2017, 08:50:54 am »

Tienes que:

[texx](a,d) = mcd(a,d)[/texx]
[texx][a,d] = mcm(a,d)[/texx]
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Víctor Luis
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« Respuesta #15 : 01/09/2017, 09:50:07 am »

Buenas Juan Pablo...


• Es lo mismo.... el maximo comun divisor de:

[texx](x,y)=d[/texx]

[texx](5,7)=35[/texx]

→ Ya que la descomposición en factores primos de [texx]5[/texx] es "5" y la descomposición en factores primos de [texx]7[/texx] es "7", dando el m.c.d. en [texx]d=35[/texx] donde teniendo en [texx]s=(x+y)=12[/texx] tenemos que [texx]\displaystyle\frac{35}{12}[/texx] no es una división exacta.



Saludos Cordiales....
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« Respuesta #16 : 01/09/2017, 10:43:01 am »

Buenas Juan Pablo...


• Es lo mismo.... el maximo comun divisor de:

[texx](x,y)=d[/texx]

[texx](5,7)=35[/texx]

→ Ya que la descomposición en factores primos de [texx]5[/texx] es "5" y la descomposición en factores primos de [texx]7[/texx] es "7", dando el m.c.d. en [texx]d=35[/texx] donde teniendo en [texx]s=(x+y)=12[/texx] tenemos que [texx]\displaystyle\frac{35}{12}[/texx] no es una división exacta.




Hola, Víctor.

El mcd es un divisor común, de momento, sin pensar ahora en que sea el máximo. Entonces, dos números primos sólo tienen un divisor común, el 1; el mcd de (5,7) es 1. El mcd de 35 y 5 es 5, el divisor común más grande que tienen los dos (también tienen al 1, como todos, pero es más pequeño).

Si tenemos 12 y 8, el divisor común más grande es el 4, pero también es común el divisor 2 y también el 1. Así el máximo (el mayor) común divisor de (8,12) es 4.

En el caso de 12 y 35 no tienen más que el 1 de divisor común; aparte de que 12 no divida a 35, que es tiene que ver pero no es lo mismo. Por ejemplo, 35 no divide a 55, sin embargo, el mcd de (35,55) no es 1, es 5. Es decir, el hecho de que un número no divida a otro no implica necesariamente que el mcd de ambos sea 1.

Así de fácil, no tiene más.

Saludos.
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Víctor Luis
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« Respuesta #17 : 02/09/2017, 05:55:06 am »

Buenos Días Feriva....


◘ Es Muy Grato Aprender con la genialidad de tus explicaciones y exposiciones,....

• Aunque uno lee lo redactado en la Wiki,... eso de m.c.d. (Máximo Común Divisor) lo de "máximo" impera en mi comprensión y porterior confusión desde hace mucho y mucho tiempo, acerca de esto, sin darle la importancia comprensiva de lo que continúa en "Divisor".
→ Si [texx]d=(x,y)[/texx] osea [texx]d=mcd(x,y)[/texx] debemos tener en [texx]d[/texx] a un natural "menor" respecto a [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx] mismo que divida exactamente a ambos, donde al darse en [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx] como naturales primos, tendremos siempre que [texx]d=1[/texx],... aunque esto también se dá, naturales [texx](x,y)[/texx] compuestos como sucede en [texx](4,15)[/texx]

Siendo que:

[texx]4=2^{2}[/texx]

[texx]15=3\cdot{}5[/texx]


○ No tenemos factores divisores comunes,... entonces, se tiene que "1" es el mcd de estos?

○ A estos se los considera como "coprimos" ?... Y cuál la razón de esta denominación de co-primo ?




GRACIAS FERIVA....
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robinlambada
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« Respuesta #18 : 02/09/2017, 11:24:14 am »

Hola Victor
→ Si [texx]d=(x,y)[/texx] osea [texx]d=mcd(x,y)[/texx] debemos tener en [texx]d[/texx] a un natural "menor" respecto a [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx] mismo que divida exactamente a ambos
No es necesarío que d sea estrictamente menor que x e y, puede ser igual a alguno de ellos. De hecho el maxímo común divisor de un número y su múltiplo es el propio número. 
[texx] MCD(d,k\cdot{}d)=d[/texx]

Cita
○ No tenemos factores divisores comunes,... entonces, se tiene que "1" es el mcd de estos?
Correcto.
Cita

○ A estos se los considera como "coprimos" ?... Y cuál la razón de esta denominación de co-primo ?
..
Si, si son coprimos o primos relativos. La razón del término no la sé, (por ejemplo: primos con ellos mismos-> coprimos ).

Saludos
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« Respuesta #19 : 02/09/2017, 12:33:00 pm »

Hola otra vez. Víctor Luis.

Cita
 No tenemos factores divisores comunes,... entonces, se tiene que "1" es el mcd de estos?

○ A estos se los considera como "coprimos" ?... Y cuál la razón de esta denominación de co-primo ?

Efectivamente, los que tienen mcd=1 son los coprimos, y los no coprimos nunca tienen mcd=1.

En cuanto al nombre de coprimos, pues es un nombre que se les da, por eso de que entre ellos no tiene más divisor que el 1. Pero podrían llamarse de otra forma, eso no es trascendente.

No me di cuenta de que te había respondido Robin ya

Un cordial saludo.
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