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Autor Tema: Pequeño juego de letras  (Leído 702 veces)
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« Respuesta #20 : 27/08/2017, 06:19:08 pm »

¡Muchas gracias a todos!
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  Igual que surgimos no hace mucho como especie por causas naturales, nos extintiguiremos relativamente pronto por ellas. Para asegurar la herencia inteligente de nuestros hijos es urgente encontrar a Dios o, lo que es equivalente, crearlo antes de que esto suceda.  F. Moreno 
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« Respuesta #21 : 27/08/2017, 07:36:06 pm »

Añado solamente: Feriva, el método para encontrar resultados nos lo ha dado Carlos Ivorra y solamente hay que escoger 2 números al azar que sean coprimos:

El razonamiento correcto era:  [texx]\displaystyle\frac{ab+c}{b+c}=k[/texx]  (suponemos K = 1)  [texx]\Rightarrow{}[/texx]  [texx]a\equiv{-b'c}\,(mod\,b+c)[/texx]  (corregido)

Ahora sólo hay que escoger " b " y " c " coprimos. Lo voy a hacer sobre la marcha: b=7 y c=8. Ahora obtenemos " b' ":  [texx]7\cdot{b'}\equiv{1}\,(mod\,15)[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]  b' = 13 . Y sustituimos:

[texx]a\equiv{-13\cdot{8}}\,(mod\,15)[/texx]  [texx]=[/texx]  [texx]a+104\equiv{0}\,(mod\,15)[/texx]

El primer valor de " a " siempre será " 1 ". Luego puedo darle: " 16 ", etc infinitos

Comprobamos:  [texx]\displaystyle\frac{1\cdot{7}+8}{15}=1[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]\displaystyle\frac{16\cdot{7}+8}{15}=8[/texx]  etc

Sdos,
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  Igual que surgimos no hace mucho como especie por causas naturales, nos extintiguiremos relativamente pronto por ellas. Para asegurar la herencia inteligente de nuestros hijos es urgente encontrar a Dios o, lo que es equivalente, crearlo antes de que esto suceda.  F. Moreno 
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« Respuesta #22 : 27/08/2017, 07:42:26 pm »

Hombre, justo el [texx]16[/texx] no cumple tu requisito de que sea primo con [texx]7, 8[/texx]. La condición la puedes simplificar hasta [texx]a\equiv 1(\mbox{mód}\, 15)[/texx] y el primero que te sirve después del [texx]1[/texx] es el [texx]31[/texx].
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« Respuesta #23 : 28/08/2017, 04:22:07 am »

Ah, pues sí. Claro ahí es donde entra el Teorema de Dirichlet para decirnos que aunque hay que respetar la condición de primalidad de " a " respecto de " -b'c "; existen infinitas soluciones para " a "; dado que:  " [texx]a=k(b+c)-b'c[/texx] " . 

¡Vaya lo que ha dado de sí una simple preguntita!  jaja  (que nivelazo en este Foro)
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  Igual que surgimos no hace mucho como especie por causas naturales, nos extintiguiremos relativamente pronto por ellas. Para asegurar la herencia inteligente de nuestros hijos es urgente encontrar a Dios o, lo que es equivalente, crearlo antes de que esto suceda.  F. Moreno 
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« Respuesta #24 : 28/08/2017, 05:50:46 am »

Pues, mira, se me ha ocurrido un argumento más simple:

Toma [texx]b, c[/texx] primos entre sí y llama [texx]m=b+c[/texx]. Entonces [texx]b\equiv -c(\mbox{mód}\,m)[/texx]. Para que un [texx]a[/texx] cumpla

[texx]\frac{ab+c}{b+c}\in \mathbb Z[/texx]

es necesario y suficiente que [texx]ab\equiv -c(\mbox{mód}\, m)[/texx], lo cual equivale a

[texx]ab\equiv b(\mbox{mód}\, m)[/texx]

y, como [texx]b[/texx] es primo con [texx]m[/texx], es simplificable módulo [texx]m[/texx], luego lo anterior equivale a

[texx]a\equiv 1(\mbox{mód}\, m)[/texx]

Además, siempre existen números [texx]a[/texx] que cumplen esto y son primos con [texx]b,c[/texx], lo cual puede probarse sin necesidad siquiera del teorema de Dirichlet, pues si [texx]P[/texx] es el producto de todos los primos que dividen a [texx]bc[/texx], sirve [texx]a=kPm+1[/texx], para todo entero [texx]k[/texx].
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« Respuesta #25 : 28/08/2017, 06:16:39 am »

Añado solamente: Feriva, el método para encontrar resultados nos lo ha dado Carlos Ivorra y solamente hay que escoger 2 números al azar que sean coprimos:



Sí, sí, eso está claro; lo leí después de mi primera entrada.

La idea básica para encontrar las soluciones enteras de una ecuación lineal la tienes en un hilo de el_manco que seguro que has visto muchas veces

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=26781.0

Es evidiente que en [texx]ax+by=c[/texx], si la ecuación se puede dividir a los dos lados por un mismo número “d” de forma que ya no se pueda simplificar más, ese “d” será el mcd de los tres sumandos. Y siempre existe un valor para “d”, que como poco será 1, que divide a todos los números. Cuando ocurre eso, también es obvio que los tres son coprimos, que no tienen más factor común que 1. Al igual hace al abordar el UTF, se puede considerar que la ecuación ya está dividida por “d” y todos son coprimos.

De ahí que la cuestión que yo pensé que planteabas era si es evidente que existe esto:

Dado [texx]a_{1}x+b_{1}y=c
 [/texx] con todos coprimos, entonces existe una ecuación equivalente tal que

[texx]a_{2}x+b_{2}y=1
 [/texx].

No es evidente que exista siempre, necesita demostración y se demuestra que sí, que siempre existe la ecuación equivalente dados los enteros coprimos que sean.

Expresado como congruencias es análogo.

Y no es trivial encontrar el inverso modular de una congruencia (aunque puede hacerse por la cuenta de la vieja si se viera a simple vista) es necesario expresarlo como ecuación lineal y resolver la ecuación diofántica.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)


Perdón, que en eso del spoiler me liado, es

un “x que cumpla [texx]103x\equiv23(mod35)
 [/texx] tal que [texx]103x=1\equiv23(mod35)
 [/texx]

De tal forma que la ecuación a resolver es

[texx]103x-23=35y
 [/texx] 

[texx]103x-35y=23
 [/texx]

(y 35, que había puesto 53 para colmo)

con la condición de arriba.



y aplicar el algoritmo de Euclides con el método para hallar las parejas (x,y) que lo cumplan.

Por eso yo fui a despejar y a dejar la ecuación de esa forma, que no se puede del todo sin meter fracciones, y di dos valores para ir simplificando y, al final, di el tercer valor también arbitrariamente; sin hacer cuentas y sin ver que cumplieran la ecuación.

Saludos.
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« Respuesta #26 : 28/08/2017, 06:47:44 am »

Hola,

Pues, mira, se me ha ocurrido un argumento más simple:

Toma [texx]b, c[/texx] primos entre sí y llama [texx]m=b+c[/texx]. Entonces [texx]b\equiv -c(\mbox{mód}\,m)[/texx]. Para que un [texx]a[/texx] cumpla

[texx]\frac{ab+c}{b+c}\in \mathbb Z[/texx]

es necesario y suficiente que [texx]ab\equiv -c(\mbox{mód}\, m)[/texx], lo cual equivale a

[texx]ab\equiv b(\mbox{mód}\, m)[/texx]

y, como [texx]b[/texx] es primo con [texx]m[/texx], es simplificable módulo [texx]m[/texx], luego lo anterior equivale a

[texx]a\equiv 1(\mbox{mód}\, m)[/texx]

Además, siempre existen números [texx]a[/texx] que cumplen esto y son primos con [texx]b,c[/texx], lo cual puede probarse sin necesidad siquiera del teorema de Dirichlet, pues si [texx]P[/texx] es el producto de todos los primos que dividen a [texx]bc[/texx], sirve [texx]a=kPm+1[/texx], para todo entero [texx]k[/texx].

Bien, vamos a hacerlo:

[texx]\frac{ab+c}{b+c}\in \mathbb Z[/texx] ; para  [texx]a,b,c[/texx]  coprimos 2 a 2  [texx]\Rightarrow{}[/texx]  Buscar  [texx]b,c[/texx]  coprimos cualquiera y obtener " a " tal que:  [texx]a\equiv 1(\mbox{mód}\, b+c)[/texx]  y que sea coprimo con  [texx]b,c[/texx]  (probablemente la condición más difícil)

Ahora tomamos:  [texx]b=9\,\wedge c=10[/texx] . El primer " a " que obtengo es 20 (no me vale, no es coprimo con " c "). Sigo buscando: a = 77, ése sí

Compruebo:  [texx]\dfrac{77\cdot{9}+10}{19}=37[/texx] .  Efectivamente no tiene más vueltas. Muchas gracias

(por cierto, qué bonita pregunta de examen ¿no?, jeje soy malvado)


Feriva, ok a todo. Un saludo
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