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Autor Tema: ¿Se usa axioma de elección?  (Leído 230 veces)
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Ian Bounos
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« : 23/08/2017, 08:59:52 pm »

Hola

En el libro de Ireland y Rosen de Teoría de números, en la página 11 (https://archive.org/stream/springer_10.1007-978-1-4757-2103-4/10.1007-978-1-4757-2103-4#page/n24/mode/1up), a la hora de introducir la versión extendida del teorema fundamental de la aritmética para dominios de ideales principales elige un conjunto [texx] S \subseteq{R} [/texx] (donde [texx] R [/texx] es el dom de ideales principales) que satisfaga dos propiedades:
i. Todo primo de [texx] R [/texx] está asociado a uno de [texx] S [/texx]
ii. No hay primos que estén asociados dentro de [texx] S [/texx]

Luego aclara que para construir [texx] S [/texx] basta con elegir un primo de cada clase de primos asociados.
En muchos casos me cuesta determinar si se está haciendo uso del axioma de elección. En este caso particular me parece que sí ¿Me equivoco? ¿Es necesario utilizarlo?.

Saludos
Ian
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #1 : 24/08/2017, 06:18:06 am »

Probar que para todo DIP existe un [texx]S[/texx] en tales condiciones requiere el axioma de elección.

El enunciado del teorema NO requiere el axioma de elección, pues la existencia de [texx]S[/texx] figura como hipótesis, es decir, lo que dice el teorema es que si en un DIP existe un [texx]S[/texx] que cumple lo requerido, entonces existen las descomposiciones indicadas. Probar eso no requiere el axioma de elección, pues el conjunto [texx]S[/texx] es una hipótesis y no hay que probar su existencia. En todo caso, hará falta aplicarlo cuando se pretenda aplicar el teorema a un anillo en el que no hay ningún criterio para elegir un representante de cada ideal primo.

Pero lo más importante es que NO se necesita nunca el axioma de elección para aplicar la extensión del teorema fundamental de la aritmética a DIPs, porque no hay ninguna necesidad de introducir tal conjunto [texx]S[/texx] en su enunciado. Es mucho más natural enunciarlo como que en un DIP todo elemento no nulo  puede expresarse en la forma [texx]a = u\prod_{i=1}^n p_i^{e_i}[/texx], donde los [texx]p_i[/texx] son primos no asociados dos a dos, y que si tenemos otra descomposición [texx]a = v\prod_{i=1}^m q_i^{f_i}[/texx] en las mismas condiciones, necesariamente [texx]m=n[/texx] y, reordenando adecuadamente los factores, [texx]p_i[/texx] es asociado a [texx]q_i[/texx].

Este enunciado no requiere para nada el axioma de elección y es, de hecho, la forma más natural de plantear el teorema fundamental. Por ejemplo, si quieres aplicarlo a [texx]\mathbb Z{[}i{]}[/texx], puedes elegir un conjunto [texx]S[/texx] sin el axioma de elección, pero aplicando un criterio totalmente arbitrario a la hora de seleccionar un representante de cada ideal primo, y nadie hace eso en la práctica. Simplemente, uno tiene en cuenta que
[texx]2=(1+i)(1-i)=(i-1)(i+1)=(-1-i)(-1+i)=(-i+1)(1+i)[/texx]
son cuatro descomposiciones equivalentes del [texx]2[/texx], sin necesidad de decir que una de ellas es "la buena" en ningún sentido.
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Víctor Luis
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« Respuesta #2 : 24/08/2017, 09:11:06 am »

Buenas Tardes....


Disculpen mi intromisión.....

Cita de: Ian Bounos
Luego aclara que para construir [texx]S[/texx] basta con elegir un primo de cada clase de primos asociados.

◘ Has probado con elegir a los primos: [texx]\{7,17\}[/texx] como primo de clase?  Estos primos, considero están asociados, por su estructura numérica,... y hasta ahí llego yo, porque de los [texx]DIP[/texx] que manejan, no comprendo esa metodología.

• Lo que me llama la atención para entrometerme en este hilo, es eso que dicen: "clase de primos", algo que desconozco, desde el punto de vista y/o enfoque Natural.



Saludos Cordiales...
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Ian Bounos
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« Respuesta #3 : 24/08/2017, 11:37:23 am »

Probar que para todo DIP existe un [texx]S[/texx] en tales condiciones requiere el axioma de elección.

El enunciado del teorema NO requiere el axioma de elección, pues la existencia de [texx]S[/texx] figura como hipótesis, es decir, lo que dice el teorema es que si en un DIP existe un [texx]S[/texx] que cumple lo requerido, entonces existen las descomposiciones indicadas. Probar eso no requiere el axioma de elección, pues el conjunto [texx]S[/texx] es una hipótesis y no hay que probar su existencia. En todo caso, hará falta aplicarlo cuando se pretenda aplicar el teorema a un anillo en el que no hay ningún criterio para elegir un representante de cada ideal primo.

Pero lo más importante es que NO se necesita nunca el axioma de elección para aplicar la extensión del teorema fundamental de la aritmética a DIPs, porque no hay ninguna necesidad de introducir tal conjunto [texx]S[/texx] en su enunciado. Es mucho más natural enunciarlo como que en un DIP todo elemento no nulo  puede expresarse en la forma [texx]a = u\prod_{i=1}^n p_i^{e_i}[/texx], donde los [texx]p_i[/texx] son primos no asociados dos a dos, y que si tenemos otra descomposición [texx]a = v\prod_{i=1}^m q_i^{f_i}[/texx] en las mismas condiciones, necesariamente [texx]m=n[/texx] y, reordenando adecuadamente los factores, [texx]p_i[/texx] es asociado a [texx]q_i[/texx].

Este enunciado no requiere para nada el axioma de elección y es, de hecho, la forma más natural de plantear el teorema fundamental. Por ejemplo, si quieres aplicarlo a [texx]\mathbb Z{[}i{]}[/texx], puedes elegir un conjunto [texx]S[/texx] sin el axioma de elección, pero aplicando un criterio totalmente arbitrario a la hora de seleccionar un representante de cada ideal primo, y nadie hace eso en la práctica. Simplemente, uno tiene en cuenta que
[texx]2=(1+i)(1-i)=(i-1)(i+1)=(-1-i)(-1+i)=(-i+1)(1+i)[/texx]
son cuatro descomposiciones equivalentes del [texx]2[/texx], sin necesidad de decir que una de ellas es "la buena" en ningún sentido.

Entendido, muchas gracias
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #4 : 25/08/2017, 05:21:53 am »

Hola

◘ Has probado con elegir a los primos: [texx]\{7,17\}[/texx] como primo de clase?  Estos primos, considero están asociados, por su estructura numérica,... y hasta ahí llego yo, porque de los [texx]DIP[/texx] que manejan, no comprendo esa metodología.

Victor: aquí se está tratando con primos en un contexto mucho más general y abstracto que el de los números naturales. Para entenderlo tienes que estudiar, entre otras cosas, teoría de grupos y de anillos.

Saludos.
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Víctor Luis
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« Respuesta #5 : 25/08/2017, 06:40:50 am »

Buenas El_Manco...


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