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Autor Tema: Aplicaciones abiertas  (Leído 399 veces)
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Gerardovf
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« : 23/08/2017, 10:02:07 am »

Buenas, tengo una duda en este ejercicio.

En [texx]I = [0,1][/texx] se establece la relación de equivalencia:

[texx]x\sim{y}\Leftrightarrow{x=y \vee \{x,y\}=\{0,1\}}[/texx]

La topología en I es la usual con [texx]\mathbb{R}[/texx]. Cómo veo que la proyección canónica es abierta (o no). Y cuáles son los métodos generales para ver si una aplicación es abierta.

Gracias de antemano :sonrisa_amplia:
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Masacroso
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« Respuesta #1 : 23/08/2017, 01:23:31 pm »

¿Proyección canónica de qué sobre qué cosa?
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #2 : 23/08/2017, 01:40:37 pm »

Prueba que la proyección no es abierta porque la imagen del abierto [texx]\left[0,1/2\right[[/texx] no es abierta, porque no es un entorno de [texx]p(0)[/texx].
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Gerardovf
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« Respuesta #3 : 24/08/2017, 06:45:28 am »

¿Proyección canónica de qué sobre qué cosa?

Me refiero a la aplicación:

[texx]\pi : X \longrightarrow{X/\sim}[/texx]

Que asigna a cada elemento su clase de equivalencia, anteriormente definida.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #4 : 24/08/2017, 07:14:01 am »

Hola

Me refiero a la aplicación:

[texx]\pi : X \longrightarrow{X/\sim}[/texx]

Que asigna a cada elemento su clase de equivalencia, anteriormente definida.

Bien. Pero ¿has comprobado el ejemplo propuesto por Carlos, que muestra que no es abierta?.

Prueba que la proyección no es abierta porque la imagen del abierto [texx]\left[0,1/2\right[[/texx] no es abierta, porque no es un entorno de [texx]p(0)[/texx].

Nota que intuitivamente el cociente que hacemos "pega" los extremos "0" y "1" del intervalo [texx][0,1][/texx]. Obtenemos así una circunferencia. El intervalo [texx][0,1/2)[/texx] es abierto en [texx][0,1][/texx] pero deja de ser abierto al trasladarlo a la circunferencia.

Formalmente para ver que [texx]\pi[0,1/2)[/texx] no es abierto comprueba que [texx]\pi^{-1}\pi[0,1/2)[/texx] no es abierto en [texx][0,1][/texx].

Saludos.
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