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Autor Tema: Duda elemental en enteros cuadráticos  (Leído 244 veces)
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« : 22/08/2017, 04:22:37 pm »

Hola, me atasco en lo siguiente:

Sea un anillo entero cuadrático en  [texx]\mathbb{Q}[\sqrt{D}][/texx] ,  para " D " un entero positivo por ejemplo. Si  [texx]D\equiv{2,3}\,mod(4)[/texx] ; entonces puedo escribir:  [texx]a+b\sqrt{D}[/texx]  y su Norma será:  [texx]N(a+b\sqrt{D})=a^2-Db^2[/texx] .  Hasta ahí todo claro (salvo que no sé porqué no lo llaman  " [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{D}][/texx] " ).  En cambio si  [texx]D\equiv{1}\,mod(4)[/texx] ,  entonces su forma será:  [texx]a+b\left({\displaystyle\frac{1+\sqrt{D}}{2}}\right)[/texx]  ¿Y su Norma? No sé bien cómo calcularla conociendo que siempre debe resultar un "número entero".

Y ya qué estamos: Entiendo que si " D " es negativo (en el primer caso). Entonces:  [texx]a+bi\sqrt{D}[/texx]  y su Norma será:  [texx]N(a+ib\sqrt{D})=a^2+Db^2[/texx]  ¿No?

Muchas gracias de antemano como siempre,
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  Igual que surgimos no hace mucho como especie por causas naturales, nos extintiguiremos relativamente pronto por ellas. Para asegurar la herencia inteligente de nuestros hijos es urgente encontrar a Dios o, lo que es equivalente, crearlo antes de que esto suceda.  F. Moreno 
Carlos Ivorra
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« Respuesta #1 : 22/08/2017, 05:10:42 pm »

Sea un anillo entero cuadrático en  [texx]\mathbb{Q}[\sqrt{D}][/texx] ,  para " D " un entero positivo por ejemplo. Si  [texx]D\equiv{2,3}\,mod(4)[/texx] ; entonces puedo escribir:  [texx]a+b\sqrt{D}[/texx]  y su Norma será:  [texx]N(a+b\sqrt{D})=a^2-Db^2[/texx] .  Hasta ahí todo claro (salvo que no sé porqué no lo llaman  " [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{D}][/texx] " ). 

Los elementos de [texx]\mathbb{Q}[\sqrt{D}][/texx], sea [texx]D[/texx] el que sea (eso sí, libre de cuadrados, es decir, no divisible entre ningún cuadrado distinto de 1) son siempre de la forma [texx]a+b\sqrt D[/texx], con [texx]a,b\in \mathbb Q[/texx], es decir, números racionales.

Otra cosa es cuál es su anillo de enteros. Si [texx]D\equiv 2, 3(\mbox{mód}\, 4)[/texx], su anillo de enteros es [texx]\mathbb Z[\sqrt D][/texx], formado por los números de la forma [texx]a+b\sqrt D[/texx], con [texx]a,b\in \mathbb Z[/texx].

En cambio si  [texx]D\equiv{1}\,mod(4)[/texx] ,  entonces su forma será:  [texx]a+b\left({\displaystyle\frac{1+\sqrt{D}}{2}}\right)[/texx] 

En este caso, los elementos de [texx]\mathbb{Q}[\sqrt{D}][/texx] siguen siendo de la forma [texx]a+b\sqrt D[/texx], con [texx]a,b\in \mathbb Q[/texx], pero el anillo de enteros de este cuerpo es [texx]\mathbb Z[\frac{1+\sqrt D}2][/texx], formado por los elementos de la forma que indicas, con [texx]a,b\in \mathbb Z[/texx].

¿Y su Norma? No sé bien cómo calcularla conociendo que siempre debe resultar un "número entero".

La norma de un elemento de [texx]\mathbb{Q}[\sqrt{D}][/texx] es siempre de la forma [texx]N(a+b\sqrt D)=a^2-Db^2[/texx], en todos los casos. Cuando [texx]D\equiv 1(\mbox{mód}\,4)[/texx], la norma de un entero será, en particular:

[texx]N(a+b\frac{1+\sqrt D}2)=N(a+b/2+(b/2)\sqrt D)= (a+b/2)^2-(b/2)^2D=a^2+ab+b^2/4-(b^2/4)D=a^2+ab+b^2\frac{1-D}4\in \mathbb Z[/texx].

Y ya qué estamos: Entiendo que si " D " es negativo (en el primer caso). Entonces:  [texx]a+bi\sqrt{D}[/texx]  y su Norma será:  [texx]N(a+ib\sqrt{D})=a^2+Db^2[/texx]  ¿No?

Si [texx]D[/texx] es negativo todo lo anterior vale sin cambio alguno. Si [texx]D\equiv 2, 3(\mbox{mód}\,4)[/texx], entonces un entero es de la forma [texx]a+b\sqrt D = a+bi\sqrt{-D}[/texx]. No puedes poner la [texx]i[/texx] dejando el radicando negativo. La norma es

[texx]N(a+b\sqrt{D})=N(a+ib\sqrt{-D})=a^2-Db^2[/texx]

Lo que ocurre es que, como [texx]D[/texx] es negativo, en realidad ese [texx]-D[/texx] es positivo.

Por ejemplo, [texx]N(a+b\sqrt{-2})=a^2+2b^2[/texx], pero ese [texx]+2[/texx] es un [texx]-D[/texx], con [texx]D=-2[/texx].
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Víctor Luis
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« Respuesta #2 : 24/08/2017, 09:19:56 am »

Buenas Tardes...


Cita de: Carlos Ivorra
Otra cosa es cuál es su anillo de enteros. Si [texx]D\equiv{2,3}(mod \ 4)[/texx], su anillo de enteros es [texx]\mathbb{Z}\sqrt[ ]{D}[/texx], formado por los números de la forma [texx]a+b\sqrt[ ]{D}[/texx], con [texx]a,b\in{\mathbb{Z}}[/texx].


◘ Una consulta... Podría ser también: [texx]D\equiv{1,2,3} (mod \ 4)[/texx] ?



Saludos Cordiales...
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« Respuesta #3 : 24/08/2017, 12:10:52 pm »

Hola,

Cita de: Carlos Ivorra
Otra cosa es cuál es su anillo de enteros. Si [texx]D\equiv{2,3}(mod \ 4)[/texx], su anillo de enteros es [texx]\mathbb{Z}\sqrt[ ]{D}[/texx], formado por los números de la forma [texx]a+b\sqrt[ ]{D}[/texx], con [texx]a,b\in{\mathbb{Z}}[/texx].


◘ Una consulta... Podría ser también: [texx]D\equiv{1,2,3} (mod \ 4)[/texx] ?


Tú pregunta es exactamente igual a ésta que se ha hecho en este Foro: "Mathematics Stack Exchangue" ("Why is quadratic integer ring defined in that way?")

Éste es el enlace:  https://math.stackexchange.com/questions/1198188/why-is-quadratic-integer-ring-defined-in-that-way

Tiene 6 respuestas; la primera destacada es la mejor. Ahí está lo que preguntas incluso en profundidad, tienes que hechar mano de un traductor sino sabes inglés y echarle unas cuántas horas de estudio. Yo no lo hice en su día porque no lo he necesitado. Me creo que los enteros cuadráticos tienen estas 2 únicas posibles representaciones en función de su divisibilidad entre 4. Es un tema, como tantos otros, que dejo para estudiar, porque me interesa, cuando tenga tiempo y lo necesite de verdad.

Sdos,
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