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Autor Tema: Polinomio característico  (Leído 197 veces)
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alejandra
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« : 12/08/2017, 11:10:40 pm »

Hola, estoy preparando el final de ecuaciones diferenciales y encontré este ejercicio el cual nosé lo que tengo que hacer, ¿Qué teoría utiliza?
Ejercicio: Determinar el polinomio característico de los siguientes operadores
a) [texx]P(\frac{{\partial }}{{\partial x}})=\Delta(\Delta-2i\frac{{\partial }}{{\partial x}}-1)[/texx]
Gracias
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Samir M.
Physicsguy.
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« Respuesta #1 : 13/08/2017, 02:53:42 pm »

Hola.

Es el polinomio característico de un operador diferencial parcial. Recuerda que dado un abierto [texx]D \subset \mathbb{R}^n[/texx] y dado [texx]N \in \mathbb{N}[/texx], para cada multi-índice [texx]\alpha[/texx] con [texx]|\alpha| \leq N[/texx] sea la aplicación continua [texx]\xi_{\alpha} : D \to \mathbb{C}[/texx], se define el operador diferencial [texx]P(x,\partial) = \displaystyle \sum_{|\alpha| \leq  N} \xi_{\alpha}(x) \partial^{\alpha}[/texx] para [texx]x \in D[/texx]. Si el operador tiene coeficientes constantes (i.e: si [texx]\xi_{\alpha}[/texx] es cte en [texx]D[/texx] para cada [texx]\alpha[/texx] tal que [texx]|\alpha| \leq N)[/texx] se define el polinomio característico del operador [texx]P(x,\partial)[/texx] como [texx]P(\lambda) = \sum_{\alpha \leq N} \xi_{\alpha} \lambda^{\alpha}[/texx].

Por ejemplo, si [texx](t,x_1,x_2,\dots,x_m) \in D =\mathbb{R} \times \mathbb{R}^m[/texx] y denotamos las derivaras parciales como [texx]\partial_t, \partial_1, \partial_2,\dots, \partial_m[/texx] y llamamos [texx]\Delta_x = \displaystyle \sum_{j=1}^m \partial_j^2[/texx], podemos definir el operador [texx]P(\partial) = \partial_t^2 - \Delta_x = \partial_t^2 - \displaystyle \sum_{j=1}^m \partial_j^2[/texx]. Su polinomio característico es [texx]P(\mu,\lambda) : \mathbb{R}\times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}[/texx] tal que [texx]P(\mu,\lambda) = \mu^2 - \displaystyle \sum_{j=1}^m \lambda_j^2[/texx]. También podemos definir un operador diferencial similar como [texx]P(\partial) = \partial_t - \Delta_x = \partial_t - \displaystyle \sum_{j=1}^m \partial_j^2[/texx]. Su polinomio característico será [texx]P(\mu,\lambda) = \mu - \displaystyle \sum_{j=1}^m \lambda_j^2.[/texx] Tenemos también el operador de Cauchy-Riemann [texx]P(\partial) = \dfrac{1}{2} (\partial_x + i \partial_y)[/texx] cuyo polinomio característico ya intuirás que es [texx]P(\lambda,\mu) = \dfrac{1}{2}(\lambda + i \mu)[/texx].

Con estos ejemplos y pensando un poco deberías ser capaz de responder a tu problema.

Pd: Con [texx]P(\dfrac{\partial}{\partial_x}[/texx] creo que se refieren a que [texx]\Delta = (\partial/\partial x)^2[/texx] (i.e: solo trabajan en una dimensión).

Saludos.
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[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
alejandra
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« Respuesta #2 : 15/08/2017, 04:35:00 pm »

Hola, muchas gracias por responderme. En un libro encontré que "mediante un cambio forma" se podía pasar de [texx]\frac{{\partial }}{{\partial x}}[/texx] a [texx]-2i\pi x[/texx] entonces el polinomio asociado sería
[texx]P(x)=(-2i\pi x)^2((-2i\pi x)^2-2i(-2i\pi x)-1)[/texx]?
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