26/05/2018, 09:06:55 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: ¡Atención! Hay que poner la matemática con LaTeX, y se hace así (clic aquí):
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Demostración con vectores y normas  (Leído 634 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
dario_oasis
Pleno*
*****

Karma: +0/-3
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 773


Ver Perfil
« : 12/08/2017, 12:44:02 pm »

¿Cómo hago para resolver esto?

[texx]x.y=\displaystyle\frac{1}{4} \left\|{x+y}\right\|^2-\displaystyle\frac{1}{4} \left\|{x-y}\right\|^2[/texx]
En línea
alexpglez
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 79


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 12/08/2017, 03:29:40 pm »

Hola, dado un producto escalar, la norma se define:
[texx] ||x||^2=x\cdot x [/texx]

Con eso, sería fácil calcular la norma al cuadrado de una suma y una resta, y a partir de ahí es simplemente sustituir y comprobar que da eso.
En línea
dario_oasis
Pleno*
*****

Karma: +0/-3
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 773


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 12/08/2017, 04:10:14 pm »

Perdón amigo pero no me da, por más que reemplaze.
En línea
mathtruco
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 4.741

El gran profesor inspira


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 12/08/2017, 04:45:56 pm »

Hola dario_oasis.

La igualdad que escribes tiene relación con la Ley del Paralelógramo y hay más de una forma de escribirla. Revisa wikipedia para que veas de qué otra forma puede escribirse.

Para probarla, la indicación de alexpglez está perfecta, es cosa de escribir las dos normas en tu igualdad usando esa idea y hacer las cuentas.

Revisa este hilo:
El producto interno cumple la ley del paralelogramo
. En tu caso [texx]\langle x,y\rangle=x\cdot y[/texx].

Reescribe esa demostración con el cambio de notación que te acabo de indicar. Una vez entendido replícalo para tu problema, verás que se resuelve muy parecido.
En línea
Ignacio Larrosa
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.235


Ver Perfil WWW
« Respuesta #4 : 13/08/2017, 08:02:11 am »

Perdón amigo pero no me da, por más que reemplaze.

¿Pero donde está el problema? Reemplaza como te sugiere alexpglez

[texx]\displaystyle\frac{1}{4} \left\|{x+y}\right\|^2-\displaystyle\frac{1}{4} \left\|{x-y}\right\|^2=\displaystyle\frac{1}{4}\left((x+y)^2 - (x-y)^2\right) = \displaystyle\frac{1}{4}\left((x+y)(x + y) - (x-y)(x-y)\right) [/texx]

Y ahora aplica las propiedades distributiva y conmutativa del producto escalar para obtener justamente [texx]x\cdot{}y[/texx].

Saludos,
En línea

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)
dario_oasis
Pleno*
*****

Karma: +0/-3
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 773


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 13/08/2017, 06:30:38 pm »


[texx]xy=1/4((x+y)(x+y)-(x-y)(x-y))[/texx]
[texx]x.y=1/4(xx)+yy-xx+yy[/texx]

Yo hice esto, aplicando las propiedades del producto escalar, pero no sé cómo seguirlo
En línea
Masacroso
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 771


Ver Perfil
« Respuesta #6 : 13/08/2017, 06:40:21 pm »

Para demostrar la igualdad sólo tienes que aplicar la definición norma inducida por un producto interior, es decir tenemos que un producto interior induce una norma de este modo

[texx]\langle x,x\rangle=:\|x\|^2[/texx]

Entonces, por ejemplo, tendríamos que

[texx]\|x-y\|^2=\langle x-y,x-y\rangle=\langle x,x\rangle+\langle y,y\rangle-2\operatorname{Re}(\langle x,y\rangle)=\|x\|^2+\|y\|^2-2\operatorname{Re}(\langle x,y\rangle)[/texx]

donde [texx]\operatorname{Re}(a)[/texx] significa parte real de [texx]a[/texx]. Si el espacio donde está definido el producto interior es real entonces

[texx]\operatorname{Re}(\langle x,y\rangle)=\langle x,y\rangle[/texx]

Aplicando estas propiedades en tu igualdad puedes mostrar que ésta es, en efecto, cierta en espacios reales.
En línea
Ignacio Larrosa
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.235


Ver Perfil WWW
« Respuesta #7 : 13/08/2017, 06:50:44 pm »


[texx]xy=1/4((x+y)(x+y)-(x-y)(x-y))[/texx]
[texx]x.y=1/4(xx)+yy-xx+yy[/texx]

Yo hice esto, aplicando las propiedades del producto escalar, pero no sé cómo seguirlo

¿Pero que propiedades? Fíjate que son las mismas que para el producto suma de números reales.
¿De verdad piensas que [texx]\displaystyle\frac{1}{4}((x+y)(x+y)-(x-y)(x-y))=\displaystyle\frac{1}{4}(xx)+yy-xx+yy[/texx]?

Elimina los paréntesis correctamente, de una forma idéntica a como lo harías si [texx]x\textrm{ e }y[/texx] fuesen números reales en lugar de vectores.

Saludos,
En línea

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!