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Autor Tema: Factorización ax^2 + bx + c  (Leído 331 veces)
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hexulon
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« : 12/08/2017, 12:14:00 am »

Estimados,

Estoy repasando la factorización de trinomios de la forma [texx]ax^2 + bx + c[/texx] y tengo la siguiente expresión matemática: [texx]2x^2 - 5x + 1[/texx]

Es posible que esa expresión no se pueda factorizar? No encuentro la forma, mi intención es obtener sus raíces factorizando sin utilizar la fórmula de la ecuación de segundo grado.

Gracias por cualquier ayuda.
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ingmarov
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« Respuesta #1 : 12/08/2017, 12:53:40 am »

Hola

A ver qué tipo de raíces tenemos, con la fórmula

[texx]x_{1,2}=\dfrac{5\pm \sqrt{25-8}}{4}=\dfrac{5\pm \sqrt{17}}{4}[/texx]. Son irracionales


A ver otra forma,
si a y b son las raíces buscadas entonces

[texx]2x^2-5x+1=2(x-a)(x-b)=2(x^2-(a+b)x+ab)[/texx]

Entonces

[texx]-2(a+b)=5\Rightarrow\color{blue} b=-(5/2+a)[/texx]

Y. [texx]{\color{red}2}ab=1[/texx] sustituyendo b

[texx]{\color{red}2}a(-(5/2+a))=1\Rightarrow a^2-\frac{5}{2}a+\color{red}\frac{1}{2}[/texx]. Un polinomio con iguales raíces que el original.


Sin la cuadrática no creo que puedas. Es que en este caso no tienes raíces racionales sino irracionales. Tampoco podrás si las raíces son complejas.


Saludos
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« Respuesta #2 : 12/08/2017, 02:19:38 am »

Gracias Ingmarov, queriendo cerrar el caso entonces, es correcto decir que la expresión no se puede factorizar?
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ingmarov
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« Respuesta #3 : 12/08/2017, 02:46:05 am »

Sí se puede factorizar así

[texx]2x^2-5x+1=2\left(x-(\frac{5+\sqrt{17}}{4})\right)\left(x-(\frac{5-\sqrt{17}}{4})\right)[/texx]


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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #4 : 12/08/2017, 06:54:30 am »

Gracias Ingmarov, queriendo cerrar el caso entonces, es correcto decir que la expresión no se puede factorizar?

Completando un poco lo que te dice ingmarov, el polinomio no se puede factorizar en los racionales, aunque si en los reales. Es decir, no se puede descomponer en producto de factores con coeficientes racionales. Si tuviese raíces complejas, no se podría factorizar tampoco en los reales, aunque en los complejos siempre se puede. Esto es una consecuencia inmediata del teorema fundamental del Álgebra, demostrado por Gauss.

Una cuestión importante que no siempre queda clara, es que si un polinomio con coeficientes enteros se puede factorizar en el conjunto de los racionales, también puede hacerse en el conjunto de los enteros.

Saludos,
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« Respuesta #5 : 12/08/2017, 12:51:37 pm »

Una cuestión importante que no siempre queda clara, es que si un polinomio con coeficientes enteros se puede factorizar en el conjunto de los racionales, también puede hacerse en el conjunto de los enteros.

¿Puedes poner algún ejemplo sobre esto último que has explicado?

Perdón por meterme en el tema de hexulon pero tengo curiosidad. Gracias.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #6 : 12/08/2017, 03:46:51 pm »

Una cuestión importante que no siempre queda clara, es que si un polinomio con coeficientes enteros se puede factorizar en el conjunto de los racionales, también puede hacerse en el conjunto de los enteros.

¿Puedes poner algún ejemplo sobre esto último que has explicado?

Perdón por meterme en el tema de hexulon pero tengo curiosidad. Gracias.

Por ejemplo, el polinomio [texx]6x^2 - 5x + 1[/texx] tiene las raíces racionales [texx]x = \displaystyle\frac{1}{2}\textrm{ y }x = \displaystyle\frac{1}{3}[/texx], por lo que puede factorizarse como [texx]6(x-\displaystyle\frac{1}{2})(x- \displaystyle\frac{1}{3})[/texx], en factores con coeficientes racionales. Pero también puede escribirse como (2x-1)(3x-1), un producto de factores lineales con coeficientes enteros.

Pues bien, esto puede hacerse siempre así. Es lo que se conoce como Lema de Gauss, válido para contextos más generales, y que para el caso que nos ocupa puedes ver demostrado en esta entrada del blog de Fernando Revilla: Lema de Gauss.

Saludos,
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« Respuesta #7 : 12/08/2017, 06:41:14 pm »

Por ejemplo, el polinomio [texx]6x^2 - 5x + 1[/texx] tiene las raíces racionales [texx]x = \displaystyle\frac{1}{2}\textrm{ y }x = \displaystyle\frac{1}{3}[/texx], por lo que puede factorizarse como [texx]6(x-\displaystyle\frac{1}{2})(x- \displaystyle\frac{1}{3})[/texx], en factores con coeficientes racionales. Pero también puede escribirse como (2x-1)(3x-1), un producto de factores lineales con coeficientes enteros.

Pues bien, esto puede hacerse siempre así. Es lo que se conoce como Lema de Gauss, válido para contextos más generales, y que para el caso que nos ocupa puedes ver demostrado en esta entrada del blog de Fernando Revilla: Lema de Gauss.

Saludos,

Perfecto, muchas gracias ilarrosa Aplauso

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« Respuesta #8 : 12/08/2017, 07:48:55 pm »

Bendita curiosidad, que nunca falte Rectilíneo

Gracias ilarrosa por extenderte siempre con tus palabras, siempre son bienvenidas.
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