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Autor Tema: Ecuación Diferencial  (Leído 318 veces)
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FMCh
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« : 11/08/2017, 02:56:13 pm »

Buen día:
Estaba leyendo sobre Ecuaciones diferenciales y el Modelo de Malthus y me encontré este ejercicio que no tengo idea de como solucionarlo:

Suponga que una isla es colonizada por inmigración desde el continente. Suponga que hay un número constante [texx]S[/texx] de especies en el continente y que en la isla hay [texx]N(t)[/texx] especies en el tiempo [texx]t[/texx]. La rapidez con la cual nuevas especies inmigran a la isla y la colonizan es proporcional al número [texx]S - N(t)[/texx] de especies del continente que no se han establecido en la isla, con constante de proporcionalidad [texx]h[/texx]. Además, en la isla las especies se extinguen con una rapidez proporcional al número de especies en la isla, con constante de proporcionalidad [texx]k[/texx]. Escriba la ley de variación de [texx]N[/texx] y calcule [texx]lím_{t\rightarrow{\infty}} N(t)[/texx].

Agradezco sus colaboraciones,

Saludos,
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delmar
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« Respuesta #1 : 12/08/2017, 12:39:02 am »

Hola

Considera que en t=0,  el número de especies en la isla es [texx]N(0)[/texx], a partir de ahí, para un  tiempo t, se tiene la relación [texx]N(t)=N(0)+n_1(t)-n_2(t)[/texx], donde [texx]n_1(t)[/texx] es la cantidad de especies inmigradas a la isla desde el continente hasta el tiempo t  y [texx]n_2(t)[/texx] es la cantidad de especies extinguidas en la isla hasta el tiempo t :

La variación del número de especies en la isla respecto al tiempo es la derivada, en consecuencia se tiene : [texx]\frac{dN}{dt}=\frac{dn_1}{dt}-\frac{dn_2}{dt}[/texx]; pero por datos del problema [texx]\frac{dn_1}{dt}=h(S-N(t))[/texx] y [texx]\frac{dn_2}{dt}=kN(t)[/texx], sustituyendo se tiene :

[texx]\frac{dN}{dt}=h(S-N(t))-kN(t)\Rightarrow{\displaystyle\frac{dN}{hS-(h+k)N}=dt}[/texx]

Integrando se obtiene la relación funcional  [texx]N(t)[/texx]

Luego se hace el [texx]\displaystyle\lim_{t \to{+}\infty}{N(t)}=\displaystyle\frac{hS}{h+k} [/texx], compruebalo

Saludos
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« Respuesta #2 : 12/08/2017, 01:42:36 pm »

Hola,
efectivamente integrando a ambos lados y despejando [texx]N(t)[/texx] y posteriormente aplicando el límite se obtenido lo planteado.

Agradezco su colaboración. 

Sin embargo quisiera preguntar un más, puesto que lo hago, pero no llego a la respuesta planteada en el ejercicio:
Una sala con un volumen de 32 metros cúbicos está inicialmente llena de aire libre de monóxido de carbono. A partir del tiempo [texx]t = 0[/texx] entra a la sala aire con humo de cigarrillo a razón de [texx]0,002m^3/min[/texx] con un [texx]4 porciento[/texx] de monóxido de carbono. El aire se mezcla rápidamente en la sala y sale a la misma razón de [texx]0,002m^3/min[/texx].
a) ¿Cuánto tardará la concentración de monóxido de carbono en la sala en alcanzar el nivel del [texx]0,0012 porciento[/texx], peligrosa para seres humanos?
b) Si la situación persistiera, ¿qué pasaría cuando [texx]t → ∞[/texx]?

Llego a un valor completamente diferente, no sé si son las unidades o algo por el estilo. Agradezco su colaboración.
Saludos,
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« Respuesta #3 : 12/08/2017, 04:08:35 pm »

Para este segundo problema, lo conveniente es crear otro hilo, así hay mayor claridad en la solución.

En este problema lo que puede confundir es efectivamente las unidades, especialmente la unidad de concentración de [texx]CO_2[/texx], la cuál puede ser porcentajes en volumen o en masa. Por tratarse de una situación en la que las condiciones de temperatura y presión se suponen las normales 1 atm y 25ºC, tanto para lo que esta dentro de la sala, como para lo que entra se puede resolver, considerando la unidades en volumen se tiene  :

Denominando [texx]V_c(t)[/texx] el volumen del [texx]CO_2[/texx] que esta dentro de la sala correspondiente al tiempo t, obviamente enj condiciones normales de temperatura y presión. Se tiene la siguiente relación [texx]V_c(t)=V_c(0)+V_{ce}(t)-V_{cs}(t)[/texx], donde :

[texx]V_c(0)[/texx] es el volumen de [texx]CO_2[/texx] dentro de la sala en t=0, [texx]V_c(0)=0[/texx], es un valor constante.

[texx]V_{ce}(t)[/texx] es el volumen de  [texx]CO_2[/texx] que ha entrado a  la sala hasta el tiempo t, es obvio que este [texx]CO_2[/texx] entra mezclado con aire, a las condiciones normales de temperatura y presión a una concentración de [texx]0.04[/texx]

[texx]V_{cs}(t)[/texx] es el volumen de  [texx]CO_2[/texx] que ha salido de  la sala hasta el tiempo t, a una concentración de [texx]\displaystyle\frac{Vc(t)}{30}[/texx], se esta considerando que la mezcla aire con [texx]CO_2[/texx] es homogenea en todo momento.

En esas condiciones se tiene que la variación de  [texx]CO_2[/texx] respecto al tiempo en volumen será :

[texx]\frac{dV_c}{dt}=\frac{dV_{ce}}{dt}-\frac{dV_{cs}}{dt}[/texx]

Por datos del problema :

[texx]\frac{dV_{ce}}{dt}=0.04(0.002)[/texx]  [texx]m^3/minuto[/texx]

[texx]\frac{dV_{cs}}{dt}=0.002 \ (\displaystyle\frac{V_c}{30})[/texx] [texx]m^3/minuto[/texx]

Por lo tanto se tiene :

[texx]\frac{dV_c}{dt}=0.04(0.002)-0.002 \ (\displaystyle\frac{V_c}{30})\Rightarrow{\displaystyle\frac{dV_c}{0.04(0.002)-0.002 \ (\displaystyle\frac{V_c}{30})}=dt}[/texx]

Integrando desde 0 hasta t, se obtiene [texx]V_c(t)[/texx], se puede resolver la primera interrogante  y luego se hace el límite. No he hecho las cuentas pero creo que el límite es : [texx]\displaystyle\frac{0.04(0.002)}{0.002/30}=1.2[/texx]

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« Respuesta #4 : 12/08/2017, 05:08:05 pm »

Gracias por la explicación:

Sin embargo, la respuesta a la que llego es 0.0059 en el tiempo y la respuesta que se sugiere es de t= 4,8 minutos para la parte (a) y para la parte (b) dice que da 4%, ¿tendrá alguna relación las unidades? ¿Llegas a ese mismo resultado?

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« Respuesta #5 : 12/08/2017, 07:30:24 pm »

Tuve un error tipográfico en  el volumen de la sala, en lugar de la cantidad que he puesto  30 es 32, de esta manera las cosas son :

[texx]\frac{dV_{cs}}{dt}=0.002 \ \displaystyle\frac{V_c}{32}[/texx]


En consecuencia la ecuación diferencial que cumple el suceso es :

[texx]\frac{dV_c}{dt}=0.04(0.002)-\displaystyle\frac{0.002}{32} \ V_c\Rightarrow{\displaystyle\frac{dV_c}{0.04(0.002)-(0.002/32)V_c}=dt}[/texx]

Integrando por sustitución, se llega a : [texx]V_c(t)=0.04(32) \ \ (1-e^{-(0.002/32)t})[/texx] Ec. principal

Para el apartado a) la concentración del dióxido de carbono ha de ser 0.0012 en volumen, esto implica : [texx]\displaystyle\frac{0.0012}{100}=\displaystyle\frac{V_c}{32}[/texx], despejas [texx]V_c[/texx] y lo sustituyes en la Ecuación principal y despejas el tiempo ha de salirte igual.

Para el b) calculas [texx]\displaystyle\lim_{t \to{+}\infty}{V_c(t)}[/texx] y luego calculas la concentración a la que tiende y  se vislumbra que la respuesta es correcta [texx]0.04[/texx]

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« Respuesta #6 : 12/08/2017, 08:51:47 pm »

Hola.

Ahora si da, no estaba contando con el [texx]V_c[/texx] para hallar el porcentaje.

Gracias,

Saludos,
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