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Autor Tema: Problema de mcd y potencias  (Leído 119 veces)
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mathspirit
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« : 11/08/2017, 02:04:11 pm »

Se me pide probar que

[texx](2^n + 5^{n+1} : 2^{n+1} + 5^n ) = [/texx] 3 o 9

Operando, puedo llegar a:

A) [texx](2^n + 5^{n+1} : 5^n . 9)[/texx]

Y operando hacia el otro lado puedo llegar a que:

B) [texx](2^n . 9 : 2^{n+1} + 5^n)[/texx]

Es decir, puedo justificar que el mcd puede ser 9 o 3, usando (A) o (B) y encontrando algún valor de n para el cual sea cierto. Sin embargo, no veo forma de justificar que el mcd no pueda ser 1. Quizás estoy obviando alguna propiedad fundamental del mcd.
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ilarrosa
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« Respuesta #1 : 11/08/2017, 02:29:15 pm »

Se me pide probar que

[texx](2^n + 5^{n+1} : 2^{n+1} + 5^n ) = [/texx] 3 o 9

Operando, puedo llegar a:

A) [texx](2^n + 5^{n+1} : 5^n . 9)[/texx]

Y operando hacia el otro lado puedo llegar a que:

B) [texx](2^n . 9 : 2^{n+1} + 5^n)[/texx]

Es decir, puedo justificar que el mcd puede ser 9 o 3, usando (A) o (B) y encontrando algún valor de n para el cual sea cierto. Sin embargo, no veo forma de justificar que el mcd no pueda ser 1. Quizás estoy obviando alguna propiedad fundamental del mcd.

No entiendo tu notación: ¿[texx](a : b)[/texx] representa el [texx]mcd\textrm{ de }a\textrm{ y }b[/texx]?

¿Qué significa entonces [texx](2^n + 5^{n+1} : 5^n . 9)[/texx] o [texx](2^n . 9 : 2^{n+1} + 5^n)[/texx]?

Si representa el [texx]mcd[/texx], ¿a qué se supone que has llegado?

Saludos,
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mathspirit
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« Respuesta #2 : 11/08/2017, 02:42:11 pm »

No entiendo tu notación: ¿[texx](a : b)[/texx] representa el [texx]mcd\textrm{ de }a\textrm{ y }b[/texx]?

Exacto.

¿Qué significa entonces [texx](2^n + 5^{n+1} : 5^n . 9)[/texx] o [texx](2^n . 9 : 2^{n+1} + 5^n)[/texx]?

Si representa el [texx]mcd[/texx], ¿a qué se supone que has llegado?

El mcd tiene una propiedad en que si uno pasa cosas de un lado al  otro multiplicado por una constante entera k, el mcd se mantiene igual. Entonces si opero sobre el lado derecho, por ejemplo, sumándole o restándole el lado izquierdo multiplicado por k, me quedó (A).

Los posibles divisores de el lado derecho de (A) son 3, 9, potencias de 5 y 1.

Pero 5 no divide al [texx]2^n + 5^{n+1}[/texx], por ende los únicos divisores posibles de eso son 3, 9 y 1. Pero el ejercicio me pide probar que los divisores son 3 o 9, es decir, el 1 no debería ser divisor. No se bien cómo probar eso. Si descartara al 1 como divisor, ya queda probado (porque encontré un caso para 3 y uno para 9) que los posibles divisores son 3 o 9, dependiendo del n.

Es decir, necesito probar que [texx]2^n + 5^{n+1}[/texx] es divisible por 3, o que [texx]2^{n+1} + 5^n[/texx] es divisible por 3. Con probar cualquiera de las dos quedaría descartado el caso en que mcd = 1. Pero no se cómo probarlo.
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« Respuesta #3 : 11/08/2017, 02:43:45 pm »

¿Qué significa entonces [texx](2^n + 5^{n+1} : 5^n . 9)[/texx] o [texx](2^n . 9 : 2^{n+1} + 5^n)[/texx]?

Si representa el [texx]mcd[/texx], ¿a qué se supone que has llegado?

Saludos,

Son simplemente dos expresiones distintas del mismo mcd. Sospecho que hay alguna forma de usarlas en conjunto, por eso operé en ambos lados, pero en realidad es posible que sólo con (A) o con (B) pueda resolverse el ejercicio.
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« Respuesta #4 : 11/08/2017, 02:56:29 pm »

¿Qué significa entonces [texx](2^n + 5^{n+1} : 5^n . 9)[/texx] o [texx](2^n . 9 : 2^{n+1} + 5^n)[/texx]?

Si representa el [texx]mcd[/texx], ¿a qué se supone que has llegado?

Saludos,

Son simplemente dos expresiones distintas del mismo mcd. Sospecho que hay alguna forma de usarlas en conjunto, por eso operé en ambos lados, pero en realidad es posible que sólo con (A) o con (B) pueda resolverse el ejercicio.

Sigo sin comprender que es lo que haces. ¿Ese punto bajo representa un producto o es alguna otra cosa?

En cualquier caso es muy fácil probar que ambas expresiones son siempre múltiplos de 3.

[texx]2^n + 5^{n+1}\equiv{}2^n + 2^{n+1} \equiv{}2^n(2 + 1) \equiv{} 0 \;(mod\;3)[/texx]

De la misma forma se ve para [texx]2^{n+1} + 5^n[/texx].

Si no conoces las congruencias, puede demostrarse fácilmente por inducción que el resto de dividir[texx] 2^n\textrm{ y }5^n\textrm{ por }3\textrm{ es }2\textrm{ si }n\textrm{ es impar y }1\textrm{ si }n[/texx] es par, a partir de lo cual es inmediato ver que tus dos expresiones son múltiplos de [texx]3[/texx].

Saludos,
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« Respuesta #5 : 11/08/2017, 10:36:07 pm »

Muchas gracias! No se me había ocurrido hacerlo como resto de potencias, así sale super bien. Gracias!
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mathspirit
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« Respuesta #6 : 14/08/2017, 01:10:41 pm »

Ah, si, el punto bajo representa el producto. Y la expresión (a : b) es el mcd entre a y b.
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