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Autor Tema: Teorema de Shelah sobre el diamante de Jensen  (Leído 41 veces)
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geómetracat
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« : 11/08/2017, 12:03:38 pm »

Hola,

En el libro de teoría de conjuntos de Carlos Ivorra, teorema 6.29, se enuncia el siguiente teorema de Shelah:

Si [texx]\kappa[/texx] es un cardinal tal que [texx]2^\kappa = \kappa^+[/texx], entonces se cumple [texx]\Diamond_E[/texx] para todo conjunto estacionario [texx]E[/texx] en [texx]\kappa^+[/texx] tal que [texx]E \subset \{\delta < \kappa^+ | cf \delta \neq cf \kappa \}[/texx].

Después se afirma que esto implica en particular que para todo cardinal [texx]\kappa > \omega[/texx] se cumple que [texx]2^\kappa = \kappa^+[/texx] implica [texx]\Diamond_{\kappa^+}[/texx].

Tengo un problema con la demostración que se ofrece en el libro de esta última implicación. Se dice que si [texx]\kappa > \omega[/texx], entonces por el teorema 6.13 del libro se tiene que [texx]E = \{\delta < \kappa^+ | cf \delta = \aleph_0 \}[/texx] es estacionario en [texx]\kappa^+[/texx] y por tanto podemos aplicar el teorema de Shelah. Mi pregunta es, ¿no podría pasar que [texx]cf \kappa = \aleph_0[/texx], en cuyo caso el teorema de Shelah no se puede aplicar a [texx]E[/texx]?

Esto no es problema para el teorema, pues en ese caso se puede aplicar el teorema de Shelah a [texx]E' = \{\delta < \kappa^+ | cf \delta = \aleph_1 \}[/texx] (porque si [texx]\kappa > \omega[/texx] pero [texx]cf \kappa = \aleph_0[/texx] en particular [texx]cf \kappa^+ = \kappa^+ > \aleph_1[/texx] luego [texx]E'[/texx] es estacionario en [texx]\kappa^+[/texx]). Pero me pregunto si no hay algo que no estoy viendo y basta considerar el conjunto [texx]E[/texx] como dice el libro.

Gracias y saludos
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
Carlos Ivorra
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« Respuesta #1 : 11/08/2017, 01:17:27 pm »

Pues sí, me temo que se me olvidó considerar ese caso, y la solución es la que planteas. Ahora lo arreglo.

Gracias de nuevo.
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