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Autor Tema: Máximo Común Divisor  (Leído 97 veces)
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nktclau
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« : 11/08/2017, 11:57:38 am »

Hola GENTE!!! quisiera saber si está bien hecho el siguiente ejercicio, por favor

Si [texx]7a+2b=35[/texx] y [texx](a,b)\neq{1}[/texx] y [texx]5|b-2[/texx] hallar el [texx](a,b)[/texx]


Bien  [texx]7a+2b=35\Longleftrightarrow{(a,b)|35}[/texx] [texx]d_{35}=\{1,5,7,35\}[/texx]

Por hipótesis [texx](a,b)\neq{1}[/texx]

Supongo que [texx](a,b)=5\Longrightarrow{5|a } \wedge 5|b[/texx]

Además por hipótesis [texx]5|b-2[/texx] y [texx]5|b\Longrightarrow{5|-2}[/texx] lo cual es absurdo luego [texx](a,b)\neq{5}[/texx]

Supongo que [texx](a,b)=7\Longrightarrow{7|a} \wedge 7|b[/texx]


Aquí es donde tengo la duda si lo hecho estará bien

Debo probar que [texx]35|b[/texx] o no.

No hay contradicción en pensar que [texx]5|b \wedge 7|b [/texx] por lo que


[texx]5|b \wedge 7|b \wedge (5,7)=1\Longrightarrow{35|b}[/texx] Luego [texx](a,b)\in{\{7,35\}}[/texx]

Es correcto ?

Otra forma se me había ocurrido en demostrar que si [texx]5\cancel{|}b\Longrightarrow{35\cancel{|}b}[/texx], pero me di cuenta que no hay dato de hipótesis que asegure que [texx]5\cancel{|}b[/texx] por eso me quede con la anterior.


Gracias

Saludos

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Juan Pablo
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« Respuesta #1 : 11/08/2017, 01:08:18 pm »

Si [texx]35 | b [/texx] entonces [texx] b = 35 \cdot m [/texx]

[texx] b-2 = 35 \cdot m - 2 = 35 \cdot m +(3 - 5) = 5 \cdot (7 \cdot m -1) + 3 \neq \dot{5} [/texx]

Editado

Más fácil como sacaste que [texx] d_{35} = \{1,5,7,35\} [/texx]

Tenemos que [texx] b-2 = 5 \cdot m [/texx] queda [texx] b = 5 \cdot m + 2 [/texx] que descarta a [texx]\{5,35\} [/texx] y el [texx]1[/texx] por hipótesis.
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feriva
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« Respuesta #2 : 11/08/2017, 02:05:38 pm »

Hola nktclau. Si no me equivoco, una vez más están mal las condiciones (aunque aquí he dado más vueltas para llegar a ello y lo mismo he metido la pata).

[texx]7a+2b=35
 [/texx]

sumando “5b” en la igualdad

[texx]7a+7b=5\cdot7+5b
 [/texx]

[texx]7(a+b)=5(7+b)
 [/texx]

Implica que 7 divide a (7+b) y por tanto 7 divide a b.

Implica que 5 divide a (a+b)

Por lo último, escribimos entonces “a=5k-b” y sustituimos

[texx]7(5k-b)+2b=35
 [/texx]

[texx]35k-7b+2b=35
 [/texx]

[texx]b(7+2)=35(1-k) [/texx] (éste es el error que indicaba Ilarrosa)

o sea

[texx]9b=35(1-k)
 [/texx]

como 9 no dividie a 35, “b” divide a 35 y no puede ser mayor en valor absoulto; luego |b|=7 ó |b|=35.

Eso es un error horrible (independientemente del otro error) Lo que es cierto es que 9 divide a (1-k), por tanto, la equivalencia es

[texx]\dfrac {b}{35}=\dfrac{1-k}{9}[/texx]



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Saludos.
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ilarrosa
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« Respuesta #3 : 11/08/2017, 02:17:39 pm »


Hola nktclau. Si no me equivoco, una vez más están mal las condiciones (aunque aquí he dado más vueltas para llegar a ello y lo mismo he metido la pata).

[texx]7a+2b=35
 [/texx]

sumando “5b” en la igualdad

[texx]7a+7b=5\cdot7+5b
 [/texx]

[texx]7(a+b)=5(7+b)
 [/texx]

Implica que 7 divide a (7+b) y por tanto 7 divide a b.

Implica que 5 divide a (a+b)

Por lo último, escribimos entonces “a=5k-b” y sustituimos

[texx]7(5k-b)+2b=35
 [/texx]

[texx]35k-7b+2b=35
 [/texx]

[texx]b(7+2)=35(1-k)
 [/texx]
Ahí debe ser:

[texx]b(-7+2)=35(1-k) [/texx]


Es decir,

[texx]-5b=35(1-k) [/texx]

[texx]b = 7(k - 1)[/texx]

Saludos,
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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
feriva
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« Respuesta #4 : 11/08/2017, 02:45:13 pm »


Hola nktclau. Si no me equivoco, una vez más están mal las condiciones (aunque aquí he dado más vueltas para llegar a ello y lo mismo he metido la pata).

[texx]7a+2b=35
 [/texx]

sumando “5b” en la igualdad

[texx]7a+7b=5\cdot7+5b
 [/texx]

[texx]7(a+b)=5(7+b)
 [/texx]

Implica que 7 divide a (7+b) y por tanto 7 divide a b.

Implica que 5 divide a (a+b)

Por lo último, escribimos entonces “a=5k-b” y sustituimos

[texx]7(5k-b)+2b=35
 [/texx]

[texx]35k-7b+2b=35
 [/texx]

[texx]b(7+2)=35(1-k)
 [/texx]
Ahí debe ser:

[texx]b(-7+2)=35(1-k) [/texx]


Es decir,

[texx]-5b=35(1-k) [/texx]

[texx]b = 7(k - 1)[/texx]

Saludos,

Gracias, Ilarrosa.

Tengo un error mucho más gordo; y es que "b" si puede ser mayor que 35, voy a editar.

Saludos.
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nktclau
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« Respuesta #5 : 12/08/2017, 02:35:27 pm »

Hola!!! GRACIAS  feriva,  ilarrosa y Juan Pablo 

Entiendo lo que van haciendo pero con la teoría que estamos manejando que es enteros en una demostración no se puede multiplicar por el inverso de un número, pues no es una operación cerrada en enteros.
Por lo que el absurdo no sería válido.  Pero todo esto me sirvió un montón y obviamente explicaré porqué.


Teniendo en cuenta:

Si [texx]35 | b [/texx] entonces [texx] b = 35 \cdot m [/texx]

[texx] b-2 = 35 \cdot m - 2 = 35 \cdot m +(3 - 5) = 5 \cdot (7 \cdot m -1) + 3 \neq \dot{5} [/texx]

Editado

Más fácil como sacaste que [texx] d_{35} = \{1,5,7,35\} [/texx]

Tenemos que [texx] b-2 = 5 \cdot m [/texx] queda [texx] b = 5 \cdot m + 2 [/texx] que descarta a [texx]\{5,35\} [/texx] y el [texx]1[/texx] por hipótesis.


Otra forma que encontré para llegar al absurdo es la siguiente

Como decía al principio de este hilo


Si [texx]7a+2b=35[/texx] y [texx](a,b)\neq{1}[/texx] y [texx]5|b-2[/texx] hallar el [texx](a,b)[/texx]


Bien  [texx]7a+2b=35\Longleftrightarrow{(a,b)|35}[/texx] [texx]d_{35}=\{1,5,7,35\}[/texx]

Por hipótesis [texx](a,b)\neq{1}[/texx]

Supongo que [texx](a,b)=5\Longrightarrow{5|a } \wedge 5|b[/texx]

Además por hipótesis [texx]5|b-2[/texx] y [texx]5|b\Longrightarrow{5|-2}[/texx] lo cual es absurdo luego [texx](a,b)\neq{5}[/texx]

Supongo que [texx](a,b)=7\Longrightarrow{7|a} \wedge 7|b[/texx]


Si yo supongo que [texx](a,b)=35 \Longrightarrow{35|a} \wedge 35|b[/texx] por definición de mcd.

Por lo que [texx]b=35\cdot \alpha[/texx] y por hipótesis [texx]b-2=5\beta[/texx] entonces [texx]35 \alpha=5 \beta + 2\Longleftrightarrow{}[/texx]


[texx]\Longrightarrow{35\alpha - 5\beta} = 2\Longleftrightarrow{5(7\alpha - \beta)=2\Longrightarrow{5|2}}[/texx] Absurdo

De ahí [texx](a,b)=7[/texx]


GRACIAS !!! INFINITAS A TODOS!!! SON GENIALES  Aplauso Aplauso Aplauso Aplauso Aplauso
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