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Autor Tema: Pregunta sobre espacio cociente  (Leído 129 veces)
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Gerardovf
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« : 11/08/2017, 06:32:19 am »

Buenas a todos, estoy encallado en este problema:

Sea [texx]X[/texx] un espacio topológico y ~ una relación de equivalencia en [texx]X[/texx]. Probar que si [texx]X /\sim[/texx] es Hausdorff. Entonces

[texx]G = \{(x,y)\in{X\times X}/x\sim y\}[/texx]

es un cerrado en [texx]X\times X[/texx]. Si además la proyección es abierta entonces también se verifica el recíproco.

Gracias de antemano por la ayuda. :sonrisa_amplia:
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 11/08/2017, 07:26:33 am »

Hola

Buenas a todos, estoy encallado en este problema:

Sea [texx]X[/texx] un espacio topológico y ~ una relación de equivalencia en [texx]X[/texx]. Probar que si [texx]X /\sim[/texx] es Hausdorff. Entonces

[texx]G = \{(x,y)\in{X\times X}/x\sim y\}[/texx]

es un cerrado en [texx]X\times X[/texx]. Si además la proyección es abierta entonces también se verifica el recíproco.

Gracias de antemano por la ayuda. :sonrisa_amplia:

Para probar que [texx]G[/texx] es cerrado, puedes demostrar que su complementario es abierto.

Si [texx](x,y)\in G^c[/texx] significa que [texx][x ]\neq [y ][/texx] en [texx]X/\sim[/texx]. Por ser éste Hausdorff existen abiertos disjuntos [texx]U,V[/texx] tales que [texx][x ]\in U[/texx], [texx] [y ]\in V[/texx].

Entonces [texx]\pi^{-1}(U)\times \pi^{-1}(V)[/texx] es un abierto de [texx]X\times X[/texx] que contiene a [texx](x,y)[/texx].

Comprueba para terminar que tal abierto no corta a [texx]G[/texx] (está en [texx]G^c[/texx]).

Intenta después el recíproco.

Pregunta las dudas que te surjan.

Saludos.
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Gerardovf
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« Respuesta #2 : 22/08/2017, 02:15:31 pm »

Muchas gracias, por la ayuda.

Con respecto a lo de ver que [texx]\pi^{-1}(U) \times \pi^{-1}(V)[/texx] está en [texx]G^c[/texx], creo que basta con tomar un punto de [texx]x' \in{\pi^{-1}(U)}[/texx] y otro [texx]y' \in{\pi^{-1}(V)}[/texx], pero no sé cómo justificar que se puede concluir que  [texx](x',y') \in G^c[/texx]. Quizás volviendo a hallar sus imágenes y viendo que tienen distinta clase, esto es:

[texx]\pi(\pi^{-1}(U)) = U[/texx] y [texx]\pi(\pi^{-1}(V)) = V[/texx] donde [texx]U\cap{V} = \emptyset \Rightarrow{[x']\neq{[y']}} \Rightarrow{(x',y') \in G^c}[/texx].

Entiendo que con esto, demostrar el recíproco es seguir los pasos pero al revés, pues puedes coger un abierto en [texx]X \times X[/texx] para hallar su imagen (también abierta).
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 23/08/2017, 06:12:53 am »

Hola

Muchas gracias, por la ayuda.

Con respecto a lo de ver que [texx]\pi^{-1}(U) \times \pi^{-1}(V)[/texx] está en [texx]G^c[/texx], creo que basta con tomar un punto de [texx]x' \in{\pi^{-1}(U)}[/texx] y otro [texx]y' \in{\pi^{-1}(V)}[/texx], pero no sé cómo justificar que se puede concluir que  [texx](x',y') \in G^c[/texx]. Quizás volviendo a hallar sus imágenes y viendo que tienen distinta clase, esto es:

[texx]\pi(\pi^{-1}(U)) = U[/texx] y [texx]\pi(\pi^{-1}(V)) = V[/texx] donde [texx]U\cap{V} = \emptyset \Rightarrow{[x']\neq{[y']}} \Rightarrow{(x',y') \in G^c}[/texx].

Si.

Cita
Entiendo que con esto, demostrar el recíproco es seguir los pasos pero al revés, pues puedes coger un abierto en [texx]X \times X[/texx] para hallar su imagen (también abierta).

mmm.. concrétalo.

Saludos.
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