Foros de matemática
22/10/2017, 12:23:15 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a NUMERARIUS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Ayuda con dos integrales :(  (Leído 248 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Jambo
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 74


Ver Perfil
« : 11/08/2017, 12:49:39 am »

Hola!

Tengo dos ejercicios de integrales que no me salen  :triste: espero que alguien pueda ayudarme...

1.Tengo que probar que[texx]\displaystyle\int_{0}^{+\infty}ln(1+\displaystyle\frac{a^2}{x^2})dx[/texx] converge, y a que converge.

Lo intenté hacer por partes y llegué a algo de la forma [texx]\displaystyle\int_{}^{}ln(1+\displaystyle\frac{a^2}{x^2})dx=ln(\displaystyle\frac{x^2+a^2}{x^2})x+\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{2a^2}{x^2+a^2}dx[/texx] y esta última integral no me sale, me da un resultado incorrecto  :indeciso:

2.Tengo esta integral:[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{ln(x)}{1+x^2}[/texx] y no sé como hacer para encontrar su primitiva  :triste:

Agradezco su ayuda de antemano!
En línea
ingmarov
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Honduras Honduras

Mensajes: 3.575



Ver Perfil
« Respuesta #1 : 11/08/2017, 01:23:14 am »

Hola Jambo



[texx]\displaystyle\int \dfrac{2a^2}{x^2+a^2}dx[/texx]

Hacemos el cambio [texx]x=a\; tan(\theta)\qquad\Rightarrow \qquad dx=asec^2(\theta)d\theta[/texx]

Sustituyendo

[texx]\displaystyle\int \dfrac{2a^2}{x^2+a^2}dx=\int \dfrac{2a^2(a\; sec^2(\theta))}{a^2sec^2(\theta)}d\theta=2a\int d\theta=2a\theta=2a\cdot arctan(\frac{x}{a})[/texx]



La segunda

Wlfram nos da

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+ln(x)%2F(1%2Bx%5E2)


Con una función rara llamada función polilogarítmica?

Seguramente la primitiva no la podremos expresar mediante funciones normales.

Saludos
En línea

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Samir M.
Physicsguy.
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 955

I'm back.


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 11/08/2017, 05:02:56 am »

Hola.

¿La segunda integral no será definida? Tiene una propiedad muy bonita si la definimos entre [texx]0[/texx] y [texx]\infty[/texx].

Saludos.
En línea

[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
Jambo
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 74


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 11/08/2017, 07:49:09 pm »

Hola, gracias por contestar a ambos  :sonrisa:

1.Bien, este me salió  :sonrisa:

2.Si esta evaluada en [texx]0[/texx] y [texx]+\infty[/texx], pero como pedia el valor exacto solo pensé en encontrar su primitiva, ¿Cuál es la propiedad bonita?
En línea
ingmarov
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Honduras Honduras

Mensajes: 3.575



Ver Perfil
« Respuesta #4 : 11/08/2017, 09:22:06 pm »

Hola.

¿La segunda integral no será definida? Tiene una propiedad muy bonita si la definimos entre [texx]0[/texx] y [texx]\infty[/texx].

Saludos.

Es verdad, muy interesante!

...
2.Si esta evaluada en [texx]0[/texx] y [texx]+\infty[/texx], pero como pedia el valor exacto solo pensé en encontrar su primitiva, ¿Cuál es la propiedad bonita?

Googleando encontré esta página

https://math.stackexchange.com/questions/170331/why-is-int-0-infty-frac-ln-x1x2-mathrmdx-0


Donde se propone el cambio

[texx]u=ln(x)\qquad\Rightarrow\qquad du=\dfrac{dx}{x}[/texx]

Además [texx]u=ln(x)\qquad\Rightarrow\qquad x=e^u,\qquad \frac{1}{x}=e^{-u}.\qquad\qquad 1+x^2=(\frac{1}{x}+x)x[/texx]

Entonces la integral se transforma en

[texx]\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{ln(x)}{1+x^2}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{u}{e^u+e^{-u}}du[/texx]

El integrando transformado corresponde a una función impar y al integrarlo en esos límites simétricos, respecto al origen, hace que la integral se anule.

Saludos
En línea

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Ignacio Larrosa
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.399


Ver Perfil WWW
« Respuesta #5 : 12/08/2017, 07:08:53 am »

Hola, gracias por contestar a ambos  :sonrisa:

1.Bien, este me salió  :sonrisa:

2.Si esta evaluada en [texx]0[/texx] y [texx]+\infty[/texx], pero como pedia el valor exacto solo pensé en encontrar su primitiva, ¿Cuál es la propiedad bonita?

De otra forma, haciendo el cambio:

[texx]x = \displaystyle\frac{1}{t},\;dx=-\displaystyle\frac{dt}{t^2}, x\rightarrow{}0\,\Rightarrow{}\,t\rightarrow{}\infty, x\rightarrow{}\infty\,\Rightarrow{}\,t\rightarrow{}0[/texx],

[texx]\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{\ln x}{1 + x^2}\,dx =\displaystyle\int_{\infty}^{0}\displaystyle\frac{-\ln t}{1 + \displaystyle\frac{1}{t^2}}\,\displaystyle\frac{-dt}{t^2} = -\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{\ln t}{t^2 + 1}\,dt[/texx]

Las dos integrales son exactamente iguales y una de ellas es opuesta a la otra, luego deben ser iguales a [texx]0[/texx].

Una consecuencia interesante es que:

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\ln x}{1 + x^2}\,dx = - \displaystyle\int_{1}^{\infty}\displaystyle\frac{\ln x}{1 + x^2}\,dx[/texx]

Aunque calcular su valor sea harina de otro costal ([texx]\approx{}0.9159655326[/texx] ).

Saludos,
En línea

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
Samir M.
Physicsguy.
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 955

I'm back.


Ver Perfil
« Respuesta #6 : 13/08/2017, 06:30:17 am »

Hola.

Otra sustitución interesante es [texx]\theta = \arctan(x)[/texx], aunque [texx]\theta = \tan(x)[/texx] va bien también. Como curiosidad, esa integral apareció al estudiar la ecuación funcional [texx]\dfrac{1}{x}f\left(\dfrac{1}{x}\right)=-xf(x)[/texx]. No recuerdo quién fue el matemático responsable de ello :triste:

Aunque calcular su valor sea harina de otro costal ([texx]\approx{}0.9159655326[/texx] ).

Su valor es la constante de Catalan.

Saludos.

En línea

[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!