Foros de matemática
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Autor Tema: Matrices  (Leído 237 veces)
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dario_oasis
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« : 11/08/2017, 12:19:52 am »

Hola como estan? me ayudarían con este ejercicio?
Sean A y B matrices idempotentes, Demuestre que si A es idempotente, A traspuesta es idempotente.
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 11/08/2017, 04:25:08 am »

Sean A y B matrices idempotentes, Demuestre que si A es idempotente, A traspuesta es idempotente.

Si [texx]A[/texx] es idempotente, [texx]A^2=A[/texx]. Entonces,

          [texx]\left(A^T\right)^2=\left(A^2\right)^T=A^T[/texx]

es decir, [texx]A^T[/texx] es idempotente.

P.D.1. ¿Qué "pinta" la matriz [texx]B[/texx]?
P.D.2. Por favor, corrige las faltas de ortografía del título.
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dario_oasis
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« Respuesta #2 : 11/08/2017, 12:20:37 pm »

Porque en otro ejercicio dice así, ¿A+B es idempotente? Argumente su respuesta
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dario_oasis
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« Respuesta #3 : 11/08/2017, 12:30:27 pm »

Sean A y B matrices idempotentes, Demuestre que si A es idempotente, A traspuesta es idempotente.

Si [texx]A[/texx] es idempotente, [texx]A^2=A[/texx]. Entonces,

          [texx]\left(A^T\right)^2=\left(A^2\right)^T=A^T[/texx]

es decir, [texx]A^T[/texx] es idempotente.

P.D.1. ¿Qué "pinta" la matriz [texx]B[/texx]?
P.D.2. Por favor, corrige las faltas de ortografía del título.

Perdón te hago una pregunta porque se invirtió esta parte? Es por alguna propiedad?[texx]\left(A^T\right)^2=\left(A^2\right)^T[/texx]
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adhemir
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« Respuesta #4 : 11/08/2017, 12:51:14 pm »

Observa que :
[texx](A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2=A+AB+BA+B . [/texx] Pues [texx]A[/texx]y [texx]B[/texx] son idempotentes.
Ahora nota que si suponemos: [texx]AB=BA=\oplus{} \ \mbox{(Matriz nula)}[/texx] tenemos
[texx](A+B)^2=A+B.[/texx] Osea que [texx]A+B[/texx] es idempotente.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #5 : 11/08/2017, 01:53:55 pm »

Sean A y B matrices idempotentes, Demuestre que si A es idempotente, A traspuesta es idempotente.

Si [texx]A[/texx] es idempotente, [texx]A^2=A[/texx]. Entonces,

          [texx]\left(A^T\right)^2=\left(A^2\right)^T=A^T[/texx]

es decir, [texx]A^T[/texx] es idempotente.

P.D.1. ¿Qué "pinta" la matriz [texx]B[/texx]?
P.D.2. Por favor, corrige las faltas de ortografía del título.

Perdón te hago una pregunta porque se invirtió esta parte? Es por alguna propiedad?[texx]\left(A^T\right)^2=\left(A^2\right)^T[/texx]

En general, [texx]\left(A\cdot{}B\right)^t = B^t\cdot{}A^t[/texx]. En el caso de cualquier potencia de una matriz, como por la propiedad asociativa todas conmutan, se tiene que [texx]\left(A^k\right)^t = \left(A^t\right)^k[/texx].

Saludos,
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #6 : 11/08/2017, 01:58:44 pm »

Observa que :
[texx](A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2=A+AB+BA+B . [/texx] Pues [texx]A[/texx]y [texx]B[/texx] son idempotentes.
Ahora nota que si suponemos: [texx]AB=BA=\oplus{} \ \mbox{(Matriz nula)}[/texx] tenemos
[texx](A+B)^2=A+B.[/texx] Osea que [texx]A+B[/texx] es idempotente.

Pero no es necesario que el producto en ambos casos sea nulo. Basta con que las matrices sean anticonmutativas, [texx]B\cdot{}A = - A\cdot{}B[/texx].

En ese caso, siendo [texx]A\textrm{ y }B[/texx] idempotentes, se tiene que:

[texx](A + B)^2 = A^2 + A\cdot{}B + B\cdot{}A + B^2 = A + A\cdot{}B - A\cdot{}B + B = A + B[/texx]

y la matriz [texx]A + B[/texx] también es idempotente.

Saludos,

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