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Autor Tema: Pregunta teórica sobre Anillos  (Leído 282 veces)
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« : 10/08/2017, 05:19:57 pm »

Hola,

Estoy estudiando algunas propiedades de este anillo:  [texx]\mathbb{Z}[i\sqrt{i}][/texx]  (estoy flipando con este anillo..)

Voy al grano. Quería saber si son ciertas estas conclusiones a las que voy llegando:

Su Norma no es un "entero" sino siempre un "entero de Gauss":  (Dado:  [texx]r+i\sqrt{i}s\in{\mathbb{Z}[i\sqrt{i}]}[/texx] ,  para  [texx]r,s\in{\mathbb{Z}}[/texx] . Entonces:

[texx]N(r+i\sqrt{i}s)=(r+i\sqrt{i}s)(r-i\sqrt{i}s)=\pmb{r^2+is^2}[/texx]

Entiendo entonces que serán invertibles no sólo los elementos de Norma = 1 (¿puedo decir que  " [texx]i[/texx] " es un invertible en este Anillo?). Sino también aquéllos elementos que tengan de Norma: " [texx]i[/texx] " como:  " [texx]i\sqrt{i}[/texx] " .  Es decir serán invertibles todos los elementos de este Anillo cuya Norma sea una de las unidades de los Enteros de Gauss.

¿Es así?


(Carlos, sé que tienes poco tiempo, pero si te sobran un par de minutillos jeje) -o quien sea eh


Un saludo y gracias de antemano,
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  Igual que surgimos no hace mucho como especie por causas naturales, nos extintiguiremos relativamente pronto por ellas. Para asegurar la herencia inteligente de nuestros hijos es urgente encontrar a Dios o, lo que es equivalente, crearlo antes de que esto suceda.  F. Moreno 
Carlos Ivorra
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« Respuesta #1 : 10/08/2017, 06:35:40 pm »

Llama [texx]\omega = \sqrt i[/texx]. Entonces [texx]\omega^2 = i[/texx], [texx]\omega^4=-1[/texx] y [texx]\omega^8=1[/texx].

Por otra parte, [texx]\eta= i\sqrt i = \omega^3[/texx]. Recíprocamente, [texx]\eta^3 = \omega^9=\omega[/texx]. Esto hace que sea indiferente trabajar con [texx]\omega[/texx] o con [texx]\eta[/texx]. Uno es el cubo del otro.

Por ejemplo, [texx]\eta^2 = \omega^6 =-\omega^2=-i[/texx], [texx]\eta^4=-1[/texx], [texx]\eta^8=1[/texx].

Además [texx]\mathbb Z[\eta]=\mathbb Z[\omega][/texx], pero este anillo no está formado por los elementos de la forma [texx]a+b\eta[/texx], con [texx]a,b[/texx] enteros, como afirmas implícitamente. Los elementos de esta forma no son un anillo porque si multiplicas dos de ellos no tiene por qué darte otro del mismo tipo.

Por ejemplo, [texx]\eta^2[/texx] no puede expresarse en la forma [texx]a+b\eta[/texx], ni [texx]\eta^3[/texx] tampoco.

El menor anilo que contiene a [texx]\eta[/texx] está formado por los números de la forma [texx]a+b\eta+c\eta^2+d\eta^3[/texx], con [texx]a,b,c,d[/texx] enteros. No hace falta poner potencias de [texx]\eta[/texx] con exponente 4 porque se simplifican usando que [texx]\eta^4=-1[/texx].

Se trata del anillo de los enteros ciclotómicos de orden 8, y contiene al anillo [texx]\mathbb Z[{}i{}][/texx] de los enteros de Gauss (y a otros dos anillos cuadráticos más).

En estas condiciones, puedes definir dos normas, una con valores en [texx]\mathbb Z[{}i{}][/texx] y otra con valores en [texx]\mathbb Z[/texx]. La que estás usando, en efecto, lleva a los enteros de Gauss, pero tienes que completarla para que actúe sobre todos los elementos de [texx]\mathbb Z[\eta][/texx]:

[texx]N(a+b\eta+c\eta^2+d\eta^3)=(a+b\eta+c\eta^2+d\eta^3)(a-b\eta+c\eta^2-d\eta^3)[/texx]

Si simplificas la expresión te quedará un número de la forma [texx]A+B\eta^2[/texx], que es un entero de Gauss.

La norma con valores enteros es

[texx]N(a+b\eta+c\eta^2+d\eta^3)=(a+b\eta+c\eta^2+d\eta^3)(a+b\eta^3-c\eta^2+d\eta)(a-b\eta+c\eta^2-d\eta^3)(a-b\eta^3-c\eta^2-d\eta)[/texx]

Si simplificas se te irán todas las etas.

Con cualquiera de las dos normas, las unidades de [texx]\mathbb Z[\eta][/texx] son los elementos cuya norma es una unidad en el anillo de llegada correspondiente.
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« Respuesta #2 : 10/08/2017, 06:48:42 pm »

¡Muchas gracias Carlos! maestro. Gracias por tu tiempo. Es genial saber todas esas cosas que sabes tú y con esa claridad. Tengo que estudiar, yo quiero algún día saberlo también. Un saludo,
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« Respuesta #3 : 17/08/2017, 08:51:40 am »

Hola Carlos, por terminar esta cuestión. He estado estudiando después el anillo  [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{i}][/texx]  y a la luz de lo que has comentado en tu anterior respuesta, quería saber si pueden considerarse ciertas las siguientes afirmaciones:

a)  Sea:  [texx]\mathbb{Z}[\color{red}\eta\color{black}][/texx] ,  para  [texx]\eta=\sqrt{i}[/texx] ;  entonces:  [texx]\mathbb{Z}[\color{red}\eta\color{black}]\in{\mathbb{Z}[\sqrt{\omega}]}[/texx] ,  para  [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{\omega}][/texx]  un subanillo de los enteros ciclotómicos de orden 8. Dado que:  [texx]\eta^2=i[/texx]  ,  [texx]\eta^3=i^{\frac{3}{2}}[/texx]  ,  [texx]\eta^4=-1[/texx]  ,  [texx]\eta^5=i^{\frac{5}{2}}[/texx]  ,  [texx]\eta^6=-i[/texx]  ,  [texx]\eta^7=i^{\frac{7}{2}}[/texx]  ,  [texx]\eta^8=1[/texx] .  (corregido)

b)  El menor anillo que contiene a  " [texx]\eta[/texx] "  estará formado por los números de la forma:  [texx]a+b\eta+c\eta^2+d\eta^3[/texx] ,  para  [texx]a,b,c,d\in{\mathbb{Z}}[/texx]

c)  Todas las unidades posibles de este anillo serán:  [texx]\eta^2,\eta^4,\eta^6,\eta^8[/texx] .  Es decir las unidades de los enteros de Gauss:  [texx](\pm 1,\pm i)[/texx]


Gracias de antemano,


PD. He intentado explorar (hasta donde sé) las posibilidades de estos 2 anillos  ([texx]\mathbb{Z}[i\,\sqrt{i}]\,\,\wedge\,\,\mathbb{Z}[\sqrt{i}][/texx])  con objeto de romper el n = 4 por una forma alternativa al absurdo por descenso infinito, pero me ha vuelto a resultar imposible   :BangHead:
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« Respuesta #4 : 17/08/2017, 03:52:21 pm »

a)  Sea:  [texx]\mathbb{Z}[\color{red}\eta\color{black}][/texx] ,  para  [texx]\eta=\sqrt{i}[/texx] ;  entonces:  [texx]\mathbb{Z}[\color{red}\eta\color{black}]\in{\mathbb{Z}[\sqrt{\omega}]}[/texx] ,  para  [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{\omega}][/texx]  un subanillo de los enteros ciclotómicos de orden 8. Dado que:  [texx]\eta^2=i[/texx]  ,  [texx]\eta^3=i^{\frac{3}{2}}[/texx]  ,  [texx]\eta^4=-1[/texx]  ,  [texx]\eta^5=i^{\frac{5}{2}}[/texx]  ,  [texx]\eta^6=-i[/texx]  ,  [texx]\eta^7=i^{\frac{7}{2}}[/texx]  ,  [texx]\eta^8=1[/texx] .  (corregido)

No exactamente, [texx]\mathbb Z[\eta][/texx] es el anillo de todos los enteros ciclotómicos de orden [texx]8[/texx], no un mero subanillo, precisamente por lo que tú mismo has comprobado, que [texx]\eta[/texx] es una raíz octava de la unidad (una raíz primitiva, en el sentido de que no es raíz de ningún orden menor, por ejemplo, [texx]i[/texx] es también una raíz octava de la unidad, pero no es primitiva porque, de hecho es una raíz cuarta) y los enteros ciclotómicos son los elementos del menor anillo que contiene a las raíces octavas primitivas de la unidad. Una es [texx]\eta[/texx], y las demás son [texx]\eta^3, \eta^5, \eta^7[/texx], y todas ellas están en [texx]\mathbb Z[\eta][/texx], luego ahí están todos los enteros ciclotómicos de orden [texx]8[/texx].

b)  El menor anillo que contiene a  " [texx]\eta[/texx] "  estará formado por los números de la forma:  [texx]a+b\eta+c\eta^2+d\eta^3[/texx] ,  para  [texx]a,b,c,d\in{\mathbb{Z}}[/texx]

Correcto.

c)  Todas las unidades posibles de este anillo serán:  [texx]\eta^2,\eta^4,\eta^6,\eta^8[/texx] .  Es decir las unidades de los enteros de Gauss:  [texx](\pm 1,\pm i)[/texx]

No. En [texx]\mathbb Z[\eta][/texx] hay infinitas unidades, infinitos elementos de norma 1. La situación es similar a la del anillo de los enteros ciclotómicos de orden [texx]5[/texx], que en el hilo del UTF para [texx]p=5[/texx] vimos que tenía infinitas unidades. Son muy pocos los anillos de enteros algebraicos con un número finito de unidades.

PD. He intentado explorar (hasta donde sé) las posibilidades de estos 2 anillos  ([texx]\mathbb{Z}[i\,\sqrt{i}]\,\,\wedge\,\,\mathbb{Z}[\sqrt{i}][/texx])  con objeto de romper el n = 4 por una forma alternativa al absurdo por descenso infinito, pero me ha vuelto a resultar imposible   :BangHead:

Como ya te indiqué, no son dos anillos, sino que ambos son el mismo. Hace tiempo vi en internet una prueba del UTF para exponente 4 basada en enteros ciclotómicos, pero era bastante más complicada que la prueba clásica. Parece que en este caso "no renta" considerar números algebraicos. En cambio, las pruebas clásicas para [texx]p=5[/texx] sin números algebraicos son muchísimo más feas que las que los utilizan (al menos eso tengo entendido, porque nunca las he visto ni mucho menos las he estudiado).
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« Respuesta #5 : 17/08/2017, 06:31:25 pm »

Muchas gracias. Sigo aprendiendo. Veré de nuevo lo del p = 5 y su prueba también sin enteros ciclotómicos. Me tengo que estudiar mejor tu hilo sobre eso (utilizando enteros ciclotómicos). Es cierto que participé, pero de ahí a entenderlo como para desmontarlo y volverlo a montar tengo todavía un trecho y es la única manera (por lo menos para mí). Como bien dices, me interesa siempre la demostración más bella y si existe alguna otra posible más simple y más bella pues mejor. Un saludo,
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