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Autor Tema: conjuntos compactos  (Leído 311 veces)
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maga
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« : 10/08/2017, 04:58:21 pm »

hola me pueden dar un ejemplo numerico en donde puede ver cuando un conjunto es compacto, he leído muchas cosas pero no logro entenderlo  :BangHead: :BangHead:
en mis apuntes tengo que probar que [0,1] es cerrado y acotado pero no es un conjunto compacto, no entiendo por que , si según el teorema de heine-borel para que un conjunto sea compacto, tiene que ser cerrado y acotado!!!! :BangHead:
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 11/08/2017, 07:35:52 am »

Hola

hola me pueden dar un ejemplo numerico en donde puede ver cuando un conjunto es compacto, he leído muchas cosas pero no logro entenderlo  :BangHead: :BangHead:
en mis apuntes tengo que probar que [0,1] es cerrado y acotado pero no es un conjunto compacto, no entiendo por que , si según el teorema de heine-borel para que un conjunto sea compacto, tiene que ser cerrado y acotado!!!! :BangHead:

En primer lugar habría que saber en que contexto estás estudiando el concepto de compacidad: sólo con la topología usal, en espacios métricos o en espacios topológicos en general.

El conjunto [texx][0,1][/texx] SI es compacto con la topología usual (con la métrica usual) de [texx]\mathbb{R}[/texx].

Pero por ejemplo el conjunto [texx][0,1][/texx] NO es compacto con la topología discreta (dada por la métria discreta). Con esa topología todo punto es abierto. El recubrimiento [texx]\{\{x\}|x\in [0,1]\}[/texx] formado por todos los conjuntos de un sólo punto del intervalo, es un recubrimiento por abiertos del mismo del cuál obviamente no se puede extraer un recubrimiento finito.

Morajela obvia e inmediata de esto es que como ocurre en toda propiedad topológica, no tiene sentido plantearse si se cumple o no en un conjunto si previamente no se ha fijado que topología estamos considerando en tal conjunto.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 11/08/2017, 04:06:50 pm »

Hola hasta que me mandaste la respuesta, no sabia que había diferencia entre la métrica euclidea y la discreta, con respecto a los conjuntos compactos, estuve buscando información con respecto a la metrica discreta y deduje lo siguiente:
d(x,y) =1 si [texx]x\neq{}y[/texx] , d(x,y)=0 si x=y , [texx]\forall{}x\in{X}[/texx]
.) X es un espacio topologico discreto
.) todo conjunto de un elemento [texx]\left\{{x}\right\}[/texx] con [texx]x\in{X}[/texx] es un conjunto abiero (en cambio en la topologia usual un conjunto unitario es cerrado por que no puede contener una B(x))
.) Todos los subconjuntos de R son acotados y cerrados
.) el teorema de Heine - borel en general no es valido.
Osea que en la topologia  discreta para ver si un conjunto es compacto, ademas de ser cerrado y acotado, tengo que tener un cubrimiento infinito y un subcubrimiento infinito, el cual en este ejemplo no es posible por que la union infinita de todos los puntos [texx]\left\{{\left\{{x}\right\}} / x \in{}[ 0,1] \right\}[/texx]  me vuelven a formar en intervalo cerrado 0,1, por lo tanto nunca voy a poder encontrar un subcubrimiento.
Ahora cual es la diferencia de conjunto compacto entre la topologia usual y los espacios métricos?
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« Respuesta #3 : 11/08/2017, 04:27:55 pm »

Por que en la métrica discreta los conjuntos unitarios son abiertos?
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« Respuesta #4 : 22/08/2017, 08:44:24 am »

Hola

Hola hasta que me mandaste la respuesta, no sabia que había diferencia entre la métrica euclidea y la discreta, con respecto a los conjuntos compactos, estuve buscando información con respecto a la metrica discreta y deduje lo siguiente:
d(x,y) =1 si [texx]x\neq{}y[/texx] , d(x,y)=0 si x=y , [texx]\forall{}x\in{X}[/texx]
.) X es un espacio topologico discreto
.) todo conjunto de un elemento [texx]\left\{{x}\right\}[/texx] con [texx]x\in{X}[/texx] es un conjunto abiero (en cambio en la topologia usual un conjunto unitario es cerrado por que no puede contener una B(x))

Bien.

Cita
.) Todos los subconjuntos de R son acotados y cerrados

Supongo a que te refieres con la métrica discreta. Bien.

Cita
.) el teorema de Heine - borel en general no es valido.

Correcto. Aunque hay enunciados alternativos válidos en general. No es cierto en cualquier espacio métrico que un conjunto cerrado y acotado sea compacto.

Cita
Osea que en la topologia  discreta para ver si un conjunto es compacto, ademas de ser cerrado y acotado, tengo que tener un cubrimiento infinito y un subcubrimiento infinito, el cual en este ejemplo no es posible por que la union infinita de todos los puntos [texx]\left\{{\left\{{x}\right\}} / x \in{}[ 0,1] \right\}[/texx]  me vuelven a formar en intervalo cerrado 0,1, por lo tanto nunca voy a poder encontrar un subcubrimiento.

No. Para que sea compacto no tienes que "tener un cubrimiento infinito y un subrecubrimiento infinito".

Tienes un lío tremendo con eso (por lo que he visto en otros hilos similares).

La definición general de conjunto compacto válida en cualquier espacio métrico y más en general en cualquier espacio topológico es: un conjunto es compacto si de cualquier recubrimiento por abiertos del mismo podemos extraer un subrecubrimiento finito.

Esa definición tal cuál, suele ser difícil de aplicar para probar que un conjunto SI es compacto. Obliga a dar algún argumento general que permita justificar que de cualquier recubrimiento finito puede extraerse uno finito. Eso no es fácil. Por eso un teorema como el de Heine Borel es cómodo; en ciertos espacios métricos nos simplifica la tarea de comprobar la compacidad: basta comprobar que el conjunto es cerrado y acotado. Pero como hemos dicho no funciona en cualquier espacio métrico.

Por el contrario la definición de compacidad basada en recubrimientos si es fácil de aplicar para probar la NO-compacidad: basta encontrar un sólo ejemplo de recubrimiento por abiertos del cual demostremos que no se puede extraer uno finito.

Cita
Ahora cual es la diferencia de conjunto compacto entre la topologia usual y los espacios métricos?

Esto debería de haber sido contestado en mi párrafo anterior.

Saludos.
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« Respuesta #5 : 22/08/2017, 08:45:46 am »

Hola

Por que en la métrica discreta los conjuntos unitarios son abiertos?

Por que de hecho son una bola abierta. En el conjunto [texx]X[/texx] con la métrica discreta:

[texx]B(x,1/2)=\{y\in X|d(x,y)<1/2\}=\{y\in X|d(x,y)=0\}=\{x\}[/texx]

Saludos.
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