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Autor Tema: conjuntos compactos  (Leído 75 veces)
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maga
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« : 10/08/2017, 04:58:21 pm »

hola me pueden dar un ejemplo numerico en donde puede ver cuando un conjunto es compacto, he leído muchas cosas pero no logro entenderlo  :BangHead: :BangHead:
en mis apuntes tengo que probar que [0,1] es cerrado y acotado pero no es un conjunto compacto, no entiendo por que , si según el teorema de heine-borel para que un conjunto sea compacto, tiene que ser cerrado y acotado!!!! :BangHead:
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el_manco
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« Respuesta #1 : 11/08/2017, 07:35:52 am »

Hola

hola me pueden dar un ejemplo numerico en donde puede ver cuando un conjunto es compacto, he leído muchas cosas pero no logro entenderlo  :BangHead: :BangHead:
en mis apuntes tengo que probar que [0,1] es cerrado y acotado pero no es un conjunto compacto, no entiendo por que , si según el teorema de heine-borel para que un conjunto sea compacto, tiene que ser cerrado y acotado!!!! :BangHead:

En primer lugar habría que saber en que contexto estás estudiando el concepto de compacidad: sólo con la topología usal, en espacios métricos o en espacios topológicos en general.

El conjunto [texx][0,1][/texx] SI es compacto con la topología usual (con la métrica usual) de [texx]\mathbb{R}[/texx].

Pero por ejemplo el conjunto [texx][0,1][/texx] NO es compacto con la topología discreta (dada por la métria discreta). Con esa topología todo punto es abierto. El recubrimiento [texx]\{\{x\}|x\in [0,1]\}[/texx] formado por todos los conjuntos de un sólo punto del intervalo, es un recubrimiento por abiertos del mismo del cuál obviamente no se puede extraer un recubrimiento finito.

Morajela obvia e inmediata de esto es que como ocurre en toda propiedad topológica, no tiene sentido plantearse si se cumple o no en un conjunto si previamente no se ha fijado que topología estamos considerando en tal conjunto.

Saludos.
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maga
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« Respuesta #2 : 11/08/2017, 04:06:50 pm »

Hola hasta que me mandaste la respuesta, no sabia que había diferencia entre la métrica euclidea y la discreta, con respecto a los conjuntos compactos, estuve buscando información con respecto a la metrica discreta y deduje lo siguiente:
d(x,y) =1 si [texx]x\neq{}y[/texx] , d(x,y)=0 si x=y , [texx]\forall{}x\in{X}[/texx]
.) X es un espacio topologico discreto
.) todo conjunto de un elemento [texx]\left\{{x}\right\}[/texx] con [texx]x\in{X}[/texx] es un conjunto abiero (en cambio en la topologia usual un conjunto unitario es cerrado por que no puede contener una B(x))
.) Todos los subconjuntos de R son acotados y cerrados
.) el teorema de Heine - borel en general no es valido.
Osea que en la topologia  discreta para ver si un conjunto es compacto, ademas de ser cerrado y acotado, tengo que tener un cubrimiento infinito y un subcubrimiento infinito, el cual en este ejemplo no es posible por que la union infinita de todos los puntos [texx]\left\{{\left\{{x}\right\}} / x \in{}[ 0,1] \right\}[/texx]  me vuelven a formar en intervalo cerrado 0,1, por lo tanto nunca voy a poder encontrar un subcubrimiento.
Ahora cual es la diferencia de conjunto compacto entre la topologia usual y los espacios métricos?
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« Respuesta #3 : 11/08/2017, 04:27:55 pm »

Por que en la métrica discreta los conjuntos unitarios son abiertos?
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