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Autor Tema: Fórmula transformaciones de variables aleatorias unidimensionales  (Leído 102 veces)
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MatematicaMente
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« : 09/08/2017, 04:56:10 pm »

Buenas noches, tengo una duda y es que en mi libro de texto me aparece la siguiente fórmula como la función de densidad de la transformación de una variable aleatoria unidimensional, cuando g es  estrictamente creciente:

[texx]f_y[/texx](y)=[texx]\displaystyle\frac{1}{g'(g^{-1}(y))}[/texx][texx]f_x (g^{-1}(y))[/texx]

Mientras que en unos apuntes de internet me aparece:

[texx]f_y[/texx](y)=[texx]g'(g^{-1}(y))[/texx][texx]f_x (g^{-1}(y)[/texx]

Con cuál me quedo? :sonrisa_amplia:

PD: no me sale poner -1 como exponente, lo siento!
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 11/08/2017, 09:18:17 am »

Hola

Buenas noches, tengo una duda y es que en mi libro de texto me aparece la siguiente fórmula como la función de densidad de la transformación de una variable aleatoria unidimensional, cuando g es  estrictamente creciente:

[texx]f_y[/texx](y)=[texx]\displaystyle\frac{1}{g'(g^{-1}(y))}[/texx][texx]f_x (g^{-1}(y))[/texx]

Mientras que en unos apuntes de internet me aparece:

[texx]f_y[/texx](y)=[texx]g'(g^{-1}(y))[/texx][texx]f_x (g^{-1}(y)[/texx]

Con cuál me quedo? :sonrisa_amplia:

PD: no me sale poner -1 como exponente, lo siento!

Supongo que estás tomando [texx]Y=g(X)[/texx].

Ten en cuenta que la función de densidad es la derivad de la función de distribución.

Entonces:

[texx]f_Y(y)=F'_Y(y)[/texx] donde [texx]F_Y(y)=P(Y\leq y)[/texx]

Ahora:

[texx]F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(g(X)\leq y)=P(X\leq g^{-1}(y))[/texx] (en este paso se usa el crecimiento de [texx]g[/texx])

continuando:

[texx]F_y(y)=F_X(g^{-1}(y))[/texx]

Derivando:

[texx]f_Y(y)=F_Y'(y)=F_X'(g^{-1}(y))(g^{-1})'(y)=f_X(g^{-1}(y))(g^{-1})'(y)[/texx]

Y por la f´rmula de la derivada de la función inversa:

[texx](g^{-1})'(y)=\dfrac{1}{g'(g^{-1}(y))}[/texx]

Por tanto:

[texx]f_Y(y)=\dfrac{1}{g'(g^{-1}(y))}f_X(g^{-1}(y))[/texx]

Saludos.
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MatematicaMente
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« Respuesta #2 : 12/08/2017, 07:29:42 am »

Muchas gracias=)
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