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Autor Tema: Graficar superficies en coordenadas esféricas y cilíndricas  (Leído 206 veces)
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billy
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« : 08/08/2017, 01:53:22 am »

Hola a todos. Tengo dificultades para graficar superficies que se encuentran en coordenadas esfericas y cilindricas. Tengo un par de ejercicios que no se cómo resolver. Son los siguientes:

1. Dibujar el sólido que tiene la descripción dada en coordenadas esféricas

   [texx]0 \leq \theta \leq 2\pi [/texx],    [texx]\displaystyle\frac{\pi}{4} \leq \phi \leq \displaystyle\frac{\pi}{2}[/texx],     [texx]0 \leq \rho \leq 1[/texx].

2. Dibujar el sólido que tiene la descripción dada en coordenadas cilindricas

 [texx]0 \leq \theta \leq 2 \pi[/texx],   [texx]2 \leq r \leq 4[/texx],    [texx]z^2 \leq -r^2+6r-8[/texx]


Agradezco su ayuda.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #1 : 08/08/2017, 05:56:45 am »

Hola a todos. Tengo dificultades para graficar superficies que se encuentran en coordenadas esfericas y cilindricas. Tengo un par de ejercicios que no se cómo resolver. Son los siguientes:

1. Dibujar el sólido que tiene la descripción dada en coordenadas esféricas

   [texx]0 \leq \theta \leq 2\pi [/texx],    [texx]\displaystyle\frac{\pi}{4} \leq \phi \leq \displaystyle\frac{\pi}{2}[/texx],     [texx]0 \leq \rho \leq 1[/texx].

El ángulo azimutal varía de [texx]0\textrm{ a }2\pi[/texx], luego el solido rodea por completo al eje [texx]Oz[/texx]. Respecto al ángulo \phi supongo que varía en [texx][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}][/texx], como la latitud geográfica, a partir del plano [texx]Oxy[/texx] (la otra posibilidad es que varié en [texx][0, \pi][/texx], desde el semieje [texx]Oz^+\textrm{ al semieje }Oz^-[/texx]). Como va de [texx]\frac{\pi}{4}\textrm{ a }\displaystyle\frac{\pi}{2}[/texx], nos limita a los puntos que vistos desde el origen forman un ángulo menor que [texx]\frac{\pi}{4}[/texx]  con el eje [texx]Oz^+[/texx]. Como [texx]0 \leq \rho \leq 1[/texx], el sólido va desde el origen hasta la esfera [texx]\rho = 1[/texx]. En definitiva es como un cucurucho de helado, un cono rematado en un casquete esferíco, o un ángulo solido.

Ahora no tengo tiempo de seguir,

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billy
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« Respuesta #2 : 09/08/2017, 10:36:29 pm »

Muchas gracias por tu ayuda ilarrosa. Resultó siendo como lo estaba pensando. Y para el segundo no tengo ni idea 
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delmar
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« Respuesta #3 : 10/08/2017, 01:36:45 am »

Hola

Para el segundo problema

El solido lo constituyen los puntos del espacio que cumplen las tres condiciones. La tercera condición la podemos poner de esta forma [texx]z^2+r^2-6r+8\leq{0}\Rightarrow{z^2+r^2-6r+9-1\leq{0}}\Rightarrow{z^2+(r-3)^2\leq{1}}[/texx]

Los puntos del espacio que cumplen [texx]0\leq{\theta}\leq{2 \pi}[/texx],  son todos los puntos del espacio. Los puntos del espacio que cumplen [texx]2\leq{r}\leq{4}[/texx] constituyen un tubo cuyo eje de simetría, es el eje z, su radio interior es 2 y su radio exterior es 4, este tubo es de longitud infinita.  Y finalmente los puntos del tubo que cumplen la tercera condición, constituyen un toroide  de sección circular (cámara de llanta de sección circular). La sección circular para un determinado [texx]\theta[/texx] es  un círculo de centro [texx](3,\theta,0)[/texx] y radio 1. Para visualizarlo se puede graficar la intersección del sólido con el plano XZ, se tendrán los puntos del sólido con [texx]\theta=0[/texx] y con [texx]\theta=\pi[/texx] y se  comprueba que son círculos de radio 1, con centro en [texx](3,0,0)[/texx] y [texx](3,\pi,0)[/texx] respectivamente. El sólido es lo engendrado al rotar una de estas secciones alrededor del eje Z.

Saludos
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #4 : 10/08/2017, 05:23:18 am »

Disculpa que no te contestase antes, pero llevo unos días un poco liado. Como te ha dicho delmar, se trata del interior de un toro de radios 3 y 1. Las dos primeras condiciones en realidad sobran, pues la primera no condiciona nada, y para los puntos que no cumplen la segunda, de la tercera resultan valores de x imaginarios. Te adjunto una imagen que puedes rotar con el ratón:


Como ves, los cilindros rojos en realidad no limitan nada. El sólido está limitado por las superficies verde y azul, correspondientes respectivamente a

[texx]z_v = +\sqrt[ ]{-\rho^2 + 6 \rho - 8}[/texx]

[texx]z_a = -\sqrt[ ]{-\rho^2 + 6 \rho - 8}[/texx]

Saludos,
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« Respuesta #5 : 12/08/2017, 08:59:39 pm »

Hola. Muchas gracias a ambos. Ya todo entendido.  :sonrisa:
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