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Noticias: Renovado el procedimiento de insercción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
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Autor Tema: Prueba \(\;\;f+g,\,fg\;\;\) continuas en \(\;a\;\) si \(\;\;f,\,g\;\;\) lo son.  (Leído 389 veces)
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« : 04/08/2017, 06:04:48 am »



Sean    [texx]f,\;g[/texx]    dos funciones reales definidas en    [texx]A[/texx]    Prueba que las funciones    [texx]f+g[/texx]    y    [texx]f\cdot{g}[/texx]    son

continuas en todo punto de    [texx]A[/texx]    en el que    [texx]f[/texx]    y    [texx]g[/texx]    son continuas.





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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #1 : 04/08/2017, 06:47:40 am »



Sean    [texx]f,\;g[/texx]    dos funciones reales definidas en    [texx]A[/texx]    Prueba que las funciones    [texx]f+g[/texx]    y    [texx]f\cdot{g}[/texx]    son

continuas en todo punto de    [texx]A[/texx]    en el que    [texx]f[/texx]    y    [texx]g[/texx]    son continuas.





Para que sean continuas tienen que estar definidas y tener límite. Lo de estar definidas no tiene problemas, si lo están [texx]f\textrm{ y }g,\textrm{ lo están }f+g\textrm{ y }f\cdot{}g[/texx].

En cuanto al límite, es bastante directo. Si [texx]f\textrm{ y }g[/texx] son continuas en [texx]a\in{}A[/texx] se tiene que:

[texx]\left. \begin{array}{l}
\forall{}\epsilon_1>0, \exists{}\delta_1>,\;\left |{x-a}\right |<\delta_1 \,\Rightarrow{}\left |{f(x) - f(a)}\right |<\epsilon_1 \\
\forall{}\epsilon_2>0, \exists{}\delta_1>,\;\left |{x-a}\right |<\delta_2 \,\Rightarrow{}\left |{g(x) - g(a)}\right |<\epsilon_2
 \end{array} \right\}[/texx]

Basta entonces con tomar [texx]\epsilon_1 = \epsilon_2 = \displaystyle\frac{\epsilon}{2},\textrm{ y }\delta = \min(\delta_1, \delta_2)[/texx] y aplicar la definición de límite a [texx]f\textrm{ + }g[/texx].

Completalo e intenta hacer algo similar para el producto.

Saludos,
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« Respuesta #2 : 04/08/2017, 07:02:29 am »

Para la suma hice lo siguiente:

Utilizando la siguiente definición de continuidad de una función
 

[texx]\boxed{\;\\
\;\;\forall\,{\epsilon>0}.\,\exists\,{\delta>0}.\;\;\textrm{ tal que }\;\;\bigg[\big(x\in{A}\big)\wedge\big(|x-a|<\delta\big)\bigg]\Rightarrow{\big|f(x)-f(a)\big|<\epsilon}\;\;\\
}[/texx]


Como necesitamos    [texx][/texx][texx]\epsilon_1,\delta_1[/texx]    para    [texx]f[/texx]    y    [texx]\epsilon_2,\delta_2[/texx]    para    [texx]g[/texx]    y otros     [texx]\epsilon,\delta[/texx]    distintos para    [texx]f+g[/texx]    podemos

hacer lo siguiente para relacionarlos,


[texx]\epsilon_1=\epsilon_2=\displaystyle\frac{\epsilon}{2}[/texx]    entonces    [texx]\epsilon=\displaystyle\frac{\epsilon}{2}+\displaystyle\frac{\epsilon}{2}[/texx]    y    [texx]\displaystyle\frac{\delta}{2}=\min\{\delta_1,\delta_2\}[/texx]


Ahora podemos usar la definición de continuidad para la suma así


[texx]\forall\,{\epsilon>0}.\,\exists\,{\displaystyle\frac{\delta}{2}}\;\;\textrm{ tal que }\;\;\bigg[\big(x\in{A}\big)\wedge\big(|x-a|<\epsilon\big)\bigg]\Rightarrow{}\big|f(x)-f(a)\big|<\displaystyle\frac{\delta}{2}\wedge\big|g(x)-g(a)\big|<\displaystyle\frac{\delta}{2}\Rightarrow{}[/texx]



[texx]\begin{array}{ccc}
\Rightarrow{}&\big|f(x)-f(a)\big|+\big|g(x)-g(a)\big|<\delta
&\Rightarrow{}\\\\\\
\Rightarrow{}&\big|f(x)-f(a)+g(x)-g(a)\big|\underbrace{\leq}_{des.\, triang.}{}\big|f(x)-f(a)\big|+\big|g(x)-g(a)\big|<\delta&\Rightarrow{}\\\\\\
\Rightarrow{}&\big|f(x)-f(a)+g(x)-g(a)\big|<\delta&\Rightarrow{}\\\\\\
\Rightarrow{}&\bigg|f(x)+g(x)-\big(f(a)+g(a)\big)\bigg|<\delta&\Rightarrow{}\\\\\\
\Rightarrow{}&\big|(f+g)(x)-(f+g)(a)\big|<\delta\end{array}[/texx]


c.q.d.


Saludos.
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« Respuesta #3 : 04/08/2017, 08:02:58 am »

Para la suma hice lo siguiente:

Utilizando la siguiente definición de continuidad de una función
 

[texx]\boxed{\;\\
\;\;\forall\,{\epsilon>0}.\,\exists\,{\delta>0}.\;\;\textrm{ tal que }\;\;\bigg[\big(x\in{A}\big)\wedge\big(|x-a|<\delta\big)\bigg]\Rightarrow{\big|f(x)-f(a)\big|<\epsilon}\;\;\\
}[/texx]



Como necesitamos    [texx][/texx][texx]\epsilon_1,\delta_1[/texx]    para    [texx]f[/texx]    y    [texx]\epsilon_2,\delta_2[/texx]    para    [texx]g[/texx]    y otros     [texx]\epsilon,\delta[/texx]    distintos para    [texx]f+g[/texx]    podemos

hacer lo siguiente para relacionarlos,


[texx]\epsilon_1=\epsilon_2=\displaystyle\frac{\epsilon}{2}[/texx]    entonces    [texx]\epsilon=\displaystyle\frac{\epsilon}{2}+\displaystyle\frac{\epsilon}{2}[/texx]    y    [texx]\displaystyle\frac{\delta}{2}=\min\{\delta_1,\delta_2\}[/texx]


Ahora podemos usar la definición de continuidad para la suma así


[texx]\forall\,{\epsilon>0}.\,\exists\,{\displaystyle\frac{\delta}{2}}\;\;\textrm{ tal que }\;\;\bigg[\big(x\in{A}\big)\wedge\big(|x-a|<\epsilon\big)\bigg]\Rightarrow{}\big|f(x)-f(a)\big|<\displaystyle\frac{\delta}{2}\wedge\big|g(x)-g(a)\big|<\displaystyle\frac{\delta}{2}\Rightarrow{}[/texx]

...

Cambiaste sobre la marcha el papel de [texx]\epsilon\textrm{ y }\delta[/texx]. Lo usual es utilizar [texx]\delta\textrm{ para la variable y }\epsilon[/texx] para la función; puedes llamarlos como quieras, pero de forma coherente. Utilizando [texx]\delta[/texx] para la variable, no hace falta poner [texx]\displaystyle\frac{\delta}{2}[/texx], con [texx]\delta[/texx] llega.

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« Respuesta #4 : 04/08/2017, 11:43:59 am »

Para la suma hice lo siguiente:

Utilizando la siguiente definición de continuidad de una función
 

[texx]\boxed{\;\\
\;\;\forall\,{\epsilon>0}.\,\exists\,{\delta>0}.\;\;\textrm{ tal que }\;\;\bigg[\big(x\in{A}\big)\wedge\big(|x-a|<\delta\big)\bigg]\Rightarrow{\big|f(x)-f(a)\big|<\epsilon}\;\;\\
}[/texx]



Como necesitamos    [texx][/texx][texx]\epsilon_1,\delta_1[/texx]    para    [texx]f[/texx]    y    [texx]\epsilon_2,\delta_2[/texx]    para    [texx]g[/texx]    y otros     [texx]\epsilon,\delta[/texx]    distintos para    [texx]f+g[/texx]    podemos

hacer lo siguiente para relacionarlos,


[texx]\epsilon_1=\epsilon_2=\displaystyle\frac{\epsilon}{2}[/texx]    entonces    [texx]\epsilon=\displaystyle\frac{\epsilon}{2}+\displaystyle\frac{\epsilon}{2}[/texx]    y    [texx]\displaystyle\frac{\delta}{2}=\min\{\delta_1,\delta_2\}[/texx]


Ahora podemos usar la definición de continuidad para la suma así


[texx]\forall\,{\epsilon>0}.\,\exists\,{\displaystyle\frac{\delta}{2}}\;\;\textrm{ tal que }\;\;\bigg[\big(x\in{A}\big)\wedge\big(|x-a|<\epsilon\big)\bigg]\Rightarrow{}\big|f(x)-f(a)\big|<\displaystyle\frac{\delta}{2}\wedge\big|g(x)-g(a)\big|<\displaystyle\frac{\delta}{2}\Rightarrow{}[/texx]

...

Cambiaste sobre la marcha el papel de [texx]\epsilon\textrm{ y }\delta[/texx]. Lo usual es utilizar [texx]\delta\textrm{ para la variable y }\epsilon[/texx] para la función; puedes llamarlos como quieras, pero de forma coherente. Utilizando [texx]\delta[/texx] para la variable, no hace falta poner [texx]\displaystyle\frac{\delta}{2}[/texx], con [texx]\delta[/texx] llega.

Saludos,

Queda más redondo al sumar


Saludos y gracias.
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« Respuesta #5 : 04/08/2017, 01:02:20 pm »

Para la suma hice lo siguiente:

Utilizando la siguiente definición de continuidad de una función
 

[texx]\boxed{\;\\
\;\;\forall\,{\epsilon>0}.\,\exists\,{\delta>0}.\;\;\textrm{ tal que }\;\;\bigg[\big(x\in{A}\big)\wedge\big(|x-a|<\delta\big)\bigg]\Rightarrow{\big|f(x)-f(a)\big|<\epsilon}\;\;\\
}[/texx]

Como necesitamos    [texx][/texx][texx]\epsilon_1,\delta_1[/texx]    para    [texx]f[/texx]    y    [texx]\epsilon_2,\delta_2[/texx]    para    [texx]g[/texx]    y otros     [texx]\epsilon,\delta[/texx]    distintos para    [texx]f+g[/texx]    podemos

hacer lo siguiente para relacionarlos,

[texx]\epsilon_1=\epsilon_2=\displaystyle\frac{\epsilon}{2}[/texx]    entonces    [texx]\epsilon=\displaystyle\frac{\epsilon}{2}+\displaystyle\frac{\epsilon}{2}[/texx]    y    [texx]\displaystyle\frac{\delta}{2}=\min\{\delta_1,\delta_2\}[/texx]

...

[texx]\forall\,{\epsilon>0}.\,\exists\,{\displaystyle\frac{\delta}{2}}\;\;\textrm{ tal que }\;\;\bigg[\big(x\in{A}\big)\wedge\big(|x-a|<\epsilon\big)\bigg]\Rightarrow{}\big|f(x)-f(a)\big|<\displaystyle\frac{\delta}{2}\wedge\big|g(x)-g(a)\big|<\displaystyle\frac{\delta}{2}\Rightarrow{}[/texx]


Cambiaste sobre la marcha el papel de [texx]\epsilon\textrm{ y }\delta[/texx]. Lo usual es utilizar [texx]\delta\textrm{ para la variable y }\epsilon[/texx] para la función; puedes llamarlos como quieras, pero de forma coherente. Utilizando [texx]\delta[/texx] para la variable, no hace falta poner [texx]\displaystyle\frac{\delta}{2}[/texx], con [texx]\delta[/texx] llega.

Saludos,

Queda más redondo al sumar

Saludos y gracias.

Te lo decía porque a media demostración cambiaste [texx]\delta\textrm{ con }\epsilon[/texx]. Solo lo que al principio llamas [texx]\epsilon[/texx] debe estar dividido por dos, para que al sumar nos quede [texx]\epsilon[/texx]. El que utilices para acotar el intervalo de la variable no necesita dividirse por dos, porque no se van a sumar.

Saludos,
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« Respuesta #6 : 05/08/2017, 03:07:48 am »

Para la suma hice lo siguiente:

Utilizando la siguiente definición de continuidad de una función
 

[texx]\boxed{\;\\
\;\;\forall\,{\epsilon>0}.\,\exists\,{\delta>0}.\;\;\textrm{ tal que }\;\;\bigg[\big(x\in{A}\big)\wedge\big(|x-a|<\delta\big)\bigg]\Rightarrow{\big|f(x)-f(a)\big|<\epsilon}\;\;\\
}[/texx]

Como necesitamos    [texx][/texx][texx]\epsilon_1,\delta_1[/texx]    para    [texx]f[/texx]    y    [texx]\epsilon_2,\delta_2[/texx]    para    [texx]g[/texx]    y otros     [texx]\epsilon,\delta[/texx]    distintos para    [texx]f+g[/texx]    podemos

hacer lo siguiente para relacionarlos,

[texx]\epsilon_1=\epsilon_2=\displaystyle\frac{\epsilon}{2}[/texx]    entonces    [texx]\epsilon=\displaystyle\frac{\epsilon}{2}+\displaystyle\frac{\epsilon}{2}[/texx]    y    [texx]\displaystyle\frac{\delta}{2}=\min\{\delta_1,\delta_2\}[/texx]

...

[texx]\forall\,{\epsilon>0}.\,\exists\,{\displaystyle\frac{\delta}{2}}\;\;\textrm{ tal que }\;\;\bigg[\big(x\in{A}\big)\wedge\big(|x-a|<\epsilon\big)\bigg]\Rightarrow{}\big|f(x)-f(a)\big|<\displaystyle\frac{\delta}{2}\wedge\big|g(x)-g(a)\big|<\displaystyle\frac{\delta}{2}\Rightarrow{}[/texx]


Cambiaste sobre la marcha el papel de [texx]\epsilon\textrm{ y }\delta[/texx]. Lo usual es utilizar [texx]\delta\textrm{ para la variable y }\epsilon[/texx] para la función; puedes llamarlos como quieras, pero de forma coherente. Utilizando [texx]\delta[/texx] para la variable, no hace falta poner [texx]\displaystyle\frac{\delta}{2}[/texx], con [texx]\delta[/texx] llega.

Saludos,

Queda más redondo al sumar

Saludos y gracias.

Te lo decía porque a media demostración cambiaste [texx]\delta\textrm{ con }\epsilon[/texx]. Solo lo que al principio llamas [texx]\epsilon[/texx] debe estar dividido por dos, para que al sumar nos quede [texx]\epsilon[/texx]. El que utilices para acotar el intervalo de la variable no necesita dividirse por dos, porque no se van a sumar.

Saludos,

Si, perdón, confundí    [texx]\epsilon[/texx]    y    [texx]\delta[/texx],    gracias.


Tenemos que    [texx]f[/texx]    y    [texx]g[/texx]    son continuas en    [texx]a\in{A}[/texx],    dicho de otra manera,

una vez fijado un    [texx]\frac{\epsilon}{2}>0[/texx]    cualquiera, podemos encontrar un    [texx]\delta>0[/texx]    adecuado, de manera que, si    [texx]x\in{A}[/texx]    y

[texx]|x-a|<\delta[/texx],    entonces,    [texx]\big|f(x)-f(a)\big|<\frac{\epsilon}{2}[/texx]    y también    [texx]\big|g(x)-g(a)\big|<\frac{\epsilon}{2}[/texx],


de donde,


[texx]\begin{array}{cc} &\big|f(x)-f(a)\big|<\frac{\epsilon}{2}\\
+&\big|g(x)-g(a)\big|<\frac{\epsilon}{2}\\
 &-----------\\
 &\big|f(x)-f(a)\big|+\big|g(x)-g(a)\big|<\epsilon\end{array}[/texx]


y por la desigualdad triangular, es


[texx]\big|f(x)-f(a)+g(x)-g(a)\big|\leq{}\big|f(x)-f(a)\big|+\big|g(x)-g(a)\big|<\epsilon[/texx],


[texx]\big|f(x)-f(a)+g(x)-g(a)\big|<\epsilon[/texx],


[texx]\Big|f(x)+g(x)-\big(f(a)+g(a)\big)\Big|<\epsilon[/texx],


[texx]\Big|(f+g)(x)-(f+g)(a)\Big|<\epsilon[/texx].


c.q.d.


Saludos y gracias.
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« Respuesta #7 : 05/08/2017, 06:03:05 am »

Perfecto, para el producto es muy similar.

Saludos,
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« Respuesta #8 : 05/08/2017, 07:17:56 am »

Perfecto, para el producto es muy similar.

Saludos,

Estoy en ello. Gracias.
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« Respuesta #9 : 06/08/2017, 07:30:58 am »

Perfecto, para el producto es muy similar.

Saludos,

Gracias. Veamos.


Por ser    [texx]f[/texx]    y    [texx]g[/texx]    continuas en    [texx]a\in{A}[/texx],    es


[texx]\forall\,{\sqrt[ ]{\epsilon}>0}.\,\exists\,{\delta>0}\;\;\textrm{ tal que }\;\;\Big[(x\in{A})\wedge\big(|x-a|<\delta\big)\Big]\Rightarrow{\begin{cases}|f(x)-f(a)|<\sqrt[ ]{\epsilon}\\\\|g(x)-g(a)|<\sqrt[ ]{\epsilon}\end{cases}}[/texx]
 


de donde, multiplicando,


[texx]\begin{array}{ccccc}\big|f(x)-f(a)\big|\cdot{\big|g(x)-g(a)\big|}&=&\Big|\big(f(x)-f(a)\big)\cdot{\big(g(x)-g(a)\big)}\Big|&=\\\\
&=&\Big|f(x)\cdot{g(x)}+f(a)\cdot{g(a)}-f(x)\cdot{g(a)}-f(a)\cdot{g(x)}\Big|&=\\\\
&=&\Big|(fg)(x)+(fg)(a)+\big(-f(x)\cdot{g(a)}-f(a)\cdot{g(x)}\big)\Big|&\leq{}\\\\
&\leq{}&\Big|(fg)(x)+(fg)(a)\Big|+\Big|\big(-f(x)\cdot{g(a)}-f(a)\cdot{g(x)}\big)\Big|&=\\\\
&=&\Big|(fg)(x)+(fg)(a)\Big|+\Big|-\big(f(x)\cdot{g(a)}+f(a)\cdot{g(x)}\big)\Big|&=\\\\
&=&\Big|(fg)(x)+(fg)(a)\Big|+\Big|f(x)\cdot{g(a)}+f(a)\cdot{g(x)}\Big|&<&\sqrt[ ]{\epsilon}\cdot{\sqrt[ ]{\epsilon}}\end{array}[/texx],
 


y como


[texx]\Big|(fg)(x)+(fg)(a)\Big|\leq{}\Big|(fg)(x)+(fg)(a)\Big|+\Big|f(x)\cdot{g(a)}+f(a)\cdot{g(x)}\Big|[/texx],



entonces, tiene que ser,


[texx]\Big|(fg)(x)+(fg)(a)\Big|<\epsilon[/texx]


ahora, usando que para cada    [texx]a,b\in{\mathbb{R}}[/texx],    [texx]\cancel{|a-b|\leq{\big||a|-|b|\big|}\leq{|a+b|}}[/texx],    [texx]\big||a|-|b|\big|\leq{|a-b|}\leq{|a+b|}[/texx]

Esto es falso y el camino no lleva a ninguna parte.

DEMOSTRACIÓN
Spoiler (click para mostrar u ocultar)



obtenemos


[texx]\cancel{\big|(fg)(x)-(fg)(a)\big|<\epsilon}[/texx]       c.q.d.


Espero que sea correcto. Saludos.

Oh!Oh! No sé si me habré equivocado en la demostración de    [texx]|a-b|\leq{|a+b|}[/texx],

eso me pasa por no tomarla en serio.
    :enojado: :enojado: :enojado:


CORREGIDO
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« Respuesta #10 : 06/08/2017, 02:04:47 pm »

Perfecto, para el producto es muy similar.

Saludos,

Me temo que ahí pequé a la vez de optimista y de desmemoriado ... La demostración para el producto es un poco más complicada. Puedes verla por ejemplo en

Funciones Continuas y límite funcional, teorema 4.3 en la pg 104 y 105.

Saludos,
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« Respuesta #11 : 06/08/2017, 05:44:07 pm »

Perfecto, para el producto es muy similar.

Saludos,

Me temo que ahí pequé a la vez de optimista y de desmemoriado ... La demostración para el producto es un poco más complicada. Puedes verla por ejemplo en

Funciones Continuas y límite funcional, teorema 4.3 en la pg 104 y 105.

Saludos,

Si, muchas gracias. Ya lo conocía, de hecho estoy siguiendo el pdf que mencionas, lo que sucede es que no me gusta esa demostración. Intentaba otros caminos, ver si alguien quería aportar alternativas.

Saludos.
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« Respuesta #12 : 08/08/2017, 06:20:01 am »

Funciones Continuas y límite funcional, teorema 4.3 en la pg 104 y 105.


Para el producto,

Cita de: Prof. Javier Pérez. Cálculo diferencial e integral
   Para el producto hay que pensar un poquito más.

[texx]\begin{align*}|(fg)(x)-(fg)(a)|&=&|f(x)(g(x)-g(a))+g(a)(f(x)-f(a))|&\leq{}\\
& & & & & &(4.5)\\
&\leq{}&\big|f(x)|\;|g(x)-g(a)|+|g(a)|\;|f(x)-f(a)|\end{align*}[/texx]

La cantidad    [texx]\big|g(a)\big|\;\big|f(x)-f(a)\big|[/texx]    puede controlarse fácilmente usando (4.2). Dado    [texx]\epsilon>0[/texx],    hagamos en  (4.2)    [texx]\epsilon_1=\frac{\epsilon}{2(|g(a)|+1)}[/texx]    (la precaución de dividir por    [texx]|g(a)|+1[/texx]    es porque pudiera ocurrir que    [texx]g(a)=0[/texx]), y sea    [texx]\delta_1=\delta_1(\epsilon_1)[/texx].    Tenemos que


[texx]\begin{align*}
x\in{A}\wedge|x-a|<\delta_1&\Rightarrow&{|g(a)|\;|f(x)-f(a)|\color{red}<\color{black}|g(a)|\displaystyle\frac{\epsilon}{2(|g(a)|+1)}<\displaystyle\frac{\epsilon}{2}}\\
& & & & & (4.6)\\
x\in{A}\wedge|x-a|<\delta_1&\Rightarrow&{|f(x)|=|f(a)|+(f(x)-f(a))|<|f(a)|+\epsilon_1}
\end{align*}[/texx]
   
...

Si ocurre que    [texx]g(a)=0[/texx]    llegamos al absurdo


[texx]|g(a)|\;|f(x)-f(a)|<0[/texx]


¿No?



Saludos.
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« Respuesta #13 : 10/08/2017, 02:29:03 pm »

Bastaría con poner [texx]\leq{}[/texx] en lugar de [texx]<[/texx].

Saludos,
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« Respuesta #14 : 10/08/2017, 03:58:06 pm »

Bastaría con poner [texx]\leq{}[/texx] en lugar de [texx]<[/texx].

Saludos,

Quedaría mejor, estoy de acuerdo. Con lo difícil que es demostrarlo hay que ver que fácil es criticarlo.

He intentado ir hacia atrás empezando por la conclusión


[texx]\big|(fg)(x)-(fg)(a)\big|<\epsilon[/texx]


y tratar de encontrar los    [texx]M,\epsilon_1,\epsilon_2, \delta,\delta_1,\delta_2[/texx]    que se usan para la demostración, pero ni así.


¡La opción de aprenderla de memoria es descabellada!

:BangHead: :BangHead: :BangHead:


¿Alguna sugerencia?


Saludos y muchas gracias.
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« Respuesta #15 : 10/08/2017, 05:58:21 pm »

Un camino parecido:

[texx]s(x) = f(x)-f(a) [/texx]

[texx]t(x) = g(x) - g(a) [/texx]

[texx]f(x) \cdot g(x) = (f(a) + [f(x)  - f(a)]) \cdot (g(a) + [g(x)  - g(a)]) = (f(a) + s(x)) \cdot (g(a) + t(x)) = [/texx]

[texx] = f(a) \cdot g(a) +f(a) \cdot t(x)  + s(x) \cdot g(a) + s(x) \cdot t(x) [/texx]
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« Respuesta #16 : 10/08/2017, 09:06:03 pm »

Un camino parecido:

[texx]s(x) = f(x)-f(a) [/texx]

[texx]t(x) = g(x) - g(a) [/texx]

[texx]f(x) \cdot g(x) = (f(a) + [f(x)  - f(a)]) \cdot (g(a) + [g(x)  - g(a)]) = (f(a) + s(x)) \cdot (g(a) + t(x)) = [/texx]

[texx] = f(a) \cdot g(a) +f(a) \cdot t(x)  + s(x) \cdot g(a) + s(x) \cdot t(x) [/texx]

Más complicado aún. ¿No? Deberemos probar la implicación:

[texx]\left.\begin{array}{l}\forall\,{\epsilon_1>0}.\,\exists\,{\delta_1>0}:\,x\in{A}\wedge|x-a|<\delta_1\Rightarrow{\big|f(x)-f(a)\big|<\epsilon_1}\\\\
\forall\,{\epsilon_2>0}.\,\exists\,{\delta_2>0}:\,x\in{A}\wedge|x-a|<\delta_2\Rightarrow{\big|g(x)-g(a)\big|<\epsilon_2}\end{array}\right\}\Rightarrow{}[/texx]



[texx]\Rightarrow{\forall{\,\epsilon>0},\,\exists{\,\delta>0}:\,x\in{A}\wedge|x-a|<\delta\Rightarrow{\big|f(a) \cdot g(a) +f(a) \cdot t(x)  + s(x) \cdot g(a) + s(x) \cdot t(x)|<\epsilon}}[/texx]


Y otra vez el problema de averiguar los epsilons y los deltas que encajen.


Saludos.
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« Respuesta #17 : 10/08/2017, 09:46:02 pm »

Me refería a algo así


[texx]\begin{array}{ccc}\forall\,{\epsilon>0}.\,\exists{\,\delta>0}:\,x\in{A}\wedge|x-a|<\delta&\Rightarrow&{\big|(f\cdot{g})(x)-(f\cdot{g})(a)\big|<\epsilon}&\Rightarrow{}\\\\
&\Rightarrow&{\big|f(x)\cdot{g(x)-f(a)\cdot{g(a)}}\big|<\epsilon}&\Rightarrow{}\\\\
&\Rightarrow{}&\big|f(x)\cdot{g(x)}-f(a)\cdot{g(a)}-f(x)\cdot{g(a)+f(x)\cdot{g(a)}}\big|<\epsilon&\Rightarrow{}\\\\
&\Rightarrow{}&\Big|f(x)\big(g(x)-g(a)\big)+g(a)\big(f(x)-f(a)\big)\Big|<\epsilon&\Rightarrow{}\\\\
&\Rightarrow{}&\Bigg|\displaystyle\frac{f(x)\big(g(x)-g(a)\big)}{2}+\displaystyle\frac{g(a)\big(f(x)-f(a)\big)}{2}\Bigg|<\displaystyle\frac{\epsilon}{2}&\Rightarrow{}\\\\
&\Rightarrow{}&\Bigg|\displaystyle\frac{f(x)\big(g(x)-g(a)\big)M}{2M}+\displaystyle\frac{g(a)\big(f(x)-f(a)\big)}{2}\Bigg|<\displaystyle\frac{\epsilon}{2}&\Rightarrow{}\\\\
&\Rightarrow{}&\ldots\end{array}[/texx]


Pero también es complicado darse cuenta que es    [texx]M[/texx]    y cuales son los epsilons y deltas que necesitamos.


Un saludo.
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Juan Pablo
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« Respuesta #18 : 11/08/2017, 07:03:45 am »

Pero si:

[texx]f(x) \cdot g(x) = f(a) \cdot g(a) + f(a) \cdot t(x) + s(x) \cdot g(a) + s(x) \cdot t(x) [/texx]

tenemos:

[texx]|f(x) \cdot g(x) - f(a) \cdot g(a)| = |f(a) \cdot t(x) + s(x) \cdot g(a) + s(x) \cdot t(x)| \leq [/texx]

[texx] \leq |f(a) \cdot t(x)| + |s(x) \cdot g(a)| + |s(x) \cdot t(x)| = |f(a)| \cdot |t(x)| + |s(x)| \cdot |g(a)| + |s(x)| \cdot |t(x)|  [/texx]

Toma ahora [texx] M = 3 \cdot (|g(a)| + |f(a)| + 1) [/texx]

Dado [texx] 0 < \dfrac{\epsilon}{M} < 1 [/texx] existirá un [texx]\delta_1 [/texx] tal que si [texx]|x-a| < \delta_1 [/texx] entonces [texx]|s(x)| <     \dfrac{\epsilon}{M} [/texx]

Dado [texx] 0 < \dfrac{\epsilon}{M} < 1 [/texx] existirá un [texx]\delta_2 [/texx] tal que si [texx]|x-a| < \delta_2 [/texx] entonces [texx]|s(x)| <     \dfrac{\epsilon}{M} [/texx]

Toma ahora [texx] \delta = min(\delta_1,\delta_2) [/texx]

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« Respuesta #19 : 11/09/2017, 07:19:27 pm »

Pero si:

[texx]f(x) \cdot g(x) = f(a) \cdot g(a) + f(a) \cdot t(x) + s(x) \cdot g(a) + s(x) \cdot t(x) [/texx]

tenemos:

[texx]|f(x) \cdot g(x) - f(a) \cdot g(a)| = |f(a) \cdot t(x) + s(x) \cdot g(a) + s(x) \cdot t(x)| \leq [/texx]

[texx] \leq |f(a) \cdot t(x)| + |s(x) \cdot g(a)| + |s(x) \cdot t(x)| = |f(a)| \cdot |t(x)| + |s(x)| \cdot |g(a)| + |s(x)| \cdot |t(x)|  [/texx]

Toma ahora [texx] M = 3 \cdot (|g(a)| + |f(a)| + 1) [/texx]

Dado [texx] 0 < \dfrac{\epsilon}{M} < 1 [/texx] existirá un [texx]\delta_1 [/texx] tal que si [texx]|x-a| < \delta_1 [/texx] entonces [texx]|s(x)| <     \dfrac{\epsilon}{M} [/texx]

Dado [texx] 0 < \dfrac{\epsilon}{M} < 1 [/texx] existirá un [texx]\delta_2 [/texx] tal que si [texx]|x-a| < \delta_2 [/texx] entonces [texx]|s(x)| <     \dfrac{\epsilon}{M} [/texx]

Toma ahora [texx] \delta = min(\delta_1,\delta_2) [/texx]

¿Y así no vale?

Tenemos que    [texx]f[/texx]    y    [texx]g[/texx]    son continuas, así que tomamos    [texx]\epsilon_1=\displaystyle\frac{\epsilon}{2\Big(\big|g(a)\big|+1\Big)}[/texx]    y     [texx]\epsilon_2=\displaystyle\frac{\epsilon}{2\Big(\big|f(x)\big|+1\Big)}[/texx]

([texx]x\in{\mathbb{R}}[/texx]),    y entonces podemos hacer


[texx]\forall\,{\left[\displaystyle\frac{\epsilon}{2\Big(\big|g(a)\big|+1\Big)}\right]>0}.\,\exists{\,\delta_1>0}:[/texx]


[texx]\begin{array}{ccc}\,x\in{A}\wedge|x-a|<\delta_1&\Rightarrow&{\big|f(x)-f(a)\big|<\displaystyle\frac{\epsilon}{2\Big(\big|g(a)\big|+1\Big)}}\\\\
&\Rightarrow{}&\big|g(a)\big|\cdot{}\big|f(x)-f(a)\big|<\big|g(a)\big|\cdot{\displaystyle\frac{\epsilon}{2\Big(\big|g(a)\big|+1\Big)}<\displaystyle\frac{\epsilon}{2}}\end{array}\tag{1}[/texx]


ya que    [texx]\displaystyle\frac{\big|g(a)\big|}{\Big(\big|g(a)\big|+1\Big)}<1\Rightarrow{\displaystyle\frac{\big|g(a)\big|}{\Big(\big|g(a)\big|+1\Big)}\cdot{\displaystyle\frac{\epsilon}{2}<\displaystyle\frac{\epsilon}{2}}}[/texx].



E igualmente para    [texx]g[/texx],


[texx]\forall\,{\left[\displaystyle\frac{\epsilon}{2\Big(\big|f(x)\big|+1\Big)}\right]>0}.\,\exists{\,\delta_2>0}:[/texx]


[texx]\begin{array}{ccc}\,x\in{A}\wedge|x-a|<\delta_2&\Rightarrow&{\big|g(x)-g(a)\big|<\displaystyle\frac{\epsilon}{2\Big(\big|f(x)\big|+1\Big)}}\\\\
&\Rightarrow{}&\big|f(x)\big|\cdot{}\big|g(x)-g(a)\big|<\big|f(x)\big|\cdot{\displaystyle\frac{\epsilon}{2\Big(\big|f(x)\big|+1\Big)}<\displaystyle\frac{\epsilon}{2}}\end{array}\tag{2}[/texx]


Ahora tomando    [texx]\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}[/texx]    si sumamos las desigualdades (1) y (2) obtenemos,



[texx]\begin{array}{lcc}x\in{A}\wedge\big|x-a\big|<\delta&\Rightarrow{}&\big|g(a)\big|\cdot{\big|f(x)-f(a)\big|}+\big|f(x)\big|\cdot{\big|g(x)-g(a)\big|<\epsilon}&\Rightarrow{}\\\\
&\Rightarrow{}&\big|(fg)(x)-(fg)(a)\big|=\Big|f(x)\big(g(x)-g(a)\big)+g(a)\big(f(x)-f(a)\big)\Big|&\leq{}&\\\\
&\leq{}&\big|g(a)\big|\cdot{\big|f(x)-f(a)\big|}+\big|f(x)\big|\cdot{\big|g(x)-g(a)\big|<\epsilon}\end{array}[/texx]


c.q.d.


Saludos. Gracias.
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